مطلوب است محاسبه: $S= \sum _0^ \infty \frac{ \Gamma (n+a)}{ \Gamma (n+b)} $به همراه جواب.

Question

مطلوب است محاسبه: $S= \sum _0^ \infty \frac{ \Gamma (n+a)}{ \Gamma (n+b)} $ که در نهایت به $S= \frac{\Gamma(a) }{ \Gamma (b-1)(b-a-1)} $می‌رسیم. راه حل: $$S= \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \sum _0^ \infty \frac{ \Gamma (b-a) \Gamma(n+a) }{ \Gamma (n+b)} = \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \sum _0^ \infty B(b-a,n+a)= \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \sum _0^ \infty \int _0^1 x^{b-a-1} (1-x)^{n+a-1}= \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \int _0^1 x^{b-a-1} \sum _0^ \infty (1-x)^{n+a-1}= \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \int _0^1 x^{b-a-1} \frac{ (1-x)^{a-1} }{x} = \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \int _0^1 x^{b-a-1-1} (1-x)^{a-1}= \frac{1}{ \Gamma (b-a)}B(b-a-1,a)= \frac{1}{ \Gamma (b-a)} \frac{ \Gamma (b-a-1) \Gamma (a)}{ \Gamma (b-1)}= \frac{ \Gamma (a)}{(b-a-1) \Gamma (b-1)} $$

Answer 1

استدلالتون درست اما ناقصه.

قبل از هر چیز باید شرایط همگرایی را بررسی کنید:

$a_n= \frac{ \Gamma (n+a)}{ \Gamma (n+b)} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{n+a}{n+b} \Rightarrow \lim_{n\to \infty } (n(1- \frac{a_{n+1}}{a_n}))= \lim_{n\to \infty } \frac{n(b-a)}{n+b}=b-a$

واضح است از مرحله ای به بعد جملات مثیت اند.حالا بنابه آزمون (Raabe) (از آزمون نسبت و ریشه نمی توتمن استفاده کرد.چرا؟) اگر $b-a>1$ سری همگراست و اگر $b-a \leq 1$ سری به $ \infty $ واگراست.

حالا نقص و گره استدلال شما اینه که اولن $dx$ را در زیر انتگرال ننوشته اید و در جایی که انتگرال و سیگما جابجا شده اند چون $0 \leq 1-t \leq 1$ داریم:

$ \sum _{n=0}^ \infty (1-x)^{n+a-1}=(1-x)^{a-1}\sum _{n=0}^ \infty (1-x)^n=(1-x)^{a-1} \frac{1}{1-(1-x)}= \frac{(1-a)^{a-1}}{x} $

$ \Box $