حد عبارت کسری $\lim_{n\to\infty}\frac{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}{(2n)^3}$ را بیابید.

Question

حد عبارت کسریِ زیر را برابر با کدام گزینه می‌شود؟

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^2+4^2+\ldots+(2n)^2}{(2n)^3}$$

1. $\frac{2}{3}$
2. $0$
3. $1$
4. $\frac{1}{2}$
5. $\frac{1}{6}$

به نظر من چون توان صورت از مخرج بیشتره جواب گزینهٔ ۲ میشه ولی خودش زده گزینهٔ ۵!

Comments

@sam123 لطفا به دیدگاهی که پیوندش را در زیر گذاشتم در مرجع‌دهی‌هایتان توجه کنید
https://math.irancircle.com/15296/#c15312

---

@sam123 چرا فکر می‌کنید توان صورت از توان مخرج بیشتر است؟ و بعد، اگر توان صورت یک کسر از توان مخرجش بیشتر باشد، حد آن کسر در میل به بینهایت برابر صفر می‌شود؟

Answer 1

میدانیم که :$$\begin{align*} 2^2+4^2 + \cdots + (2n)^2 & = 2^2 \sum\limits_{k=1}^{n} k^2. \\ & = \frac {2} {3} n(n+1) (2n+1). \end{align*}$$ در نتیجه خواهیم داشت : $$\begin{align} \lim_n\frac {2^2+4^2 + \cdots + (2n)^2} {(2n)^3} & =\lim_n \frac {1} {12} \left ( 1 + \frac 1 n \right ) \left (2 + \frac 1 n \right ) \\ &=\frac {1} {12} \times 2 \\& = \frac 1 6 \end{align}$$