به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+1 امتیاز
779 بازدید
در دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)

با درود به همراهان گرامی. تعداد جمله های بسط n جمله‌ای و ضرایبشان چگونه محاسبه میشود؟ بطور مثال تعداد جملات و ضرایب (x+y+z)^4 چگونه محاسبه میشود؟ با سپاس از توجه همراهان گرامی.

مرجع: ریاضیات انتخاب؛ تألیف ایوان نیون؛ ترجمه علی عبدی و بتول جذبی؛ مرکز نشر دانشگاهی؛ چاپ اول ۱۳۶۸؛ صفحه ۴۳

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari

در بسط بینم(a_1+a_2+....a_k)^n تعداد جملات برابر است با \binom{n+k-1}{k-1} در مثال داده شده n=4,k=3 است لذا \binom{4+3-1}{3-1} = \binom{6} {2} = \frac{6!}{2!4!} =15 جمله دارد. بعبارت ساده تر تعداد جملات (a+b+c)^n= \frac{(n+1)(n+2)}{2} خواهد بود.چگونگی بسط هم بصورت زیر بیان می شود: با توجه به بسط دو جمله ای (a+b)^n خواهیم داشت

(a+(b+c))^n= \binom{n}{0} a^n(b+c)^0+ \binom{n}{1} a^{n-1}(b+c)^1+.....+ \binom{n}{n} a^0(b+c)^n

توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
+1
@mahdiahmadileedari : با درود به همراه و استاد گرمی. بسیار عالی بود‌. اگر اشتباه نکنم، فرمول اولتان مربوط به دوجمله ای نیوتون نیست بلکه مربوط به فرمول بسط (k) جمله ایست. فرمول تعداد جملات بسط k جمله ای بسیار مفید است. در مرجع مذکور در سؤال بدون دخالت دادن فرمول بینوم نیوتن، فرمولی کلی برای بسط چندجمله ای زیر
(x+y+z+w+...)^n
ارائه کرده که بقرار زیر است.
\frac{n!}{a!b!c!d! ....}x^ay^bz^cw^d....
و در آن حاصل کسر فاکتوریل، ضریب همه جملاتی هست بشکل (x^ay^bz^cw^d...) ، که در آن
(a+b+c+d+.....=n) و (a,b,c,d,.... \in \mathbb{W}) خواهد بود. همراهی خوبتان در فهم این مطلب بسیار مفید بود. از حضور صمیمانه تان سپاسگزارم. 1+
توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
+1
@ناصر اهنگرپور کاملا درست است. سپاسگزارم
...