تعداد جمله های بسط $n$ جمله ای و ضرایبشان چگونه محاسبه میشود؟

Question

با درود به همراهان گرامی. تعداد جمله های بسط $n$ جمله‌ای و ضرایبشان چگونه محاسبه میشود؟ بطور مثال تعداد جملات و ضرایب $(x+y+z)^4$ چگونه محاسبه میشود؟ با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Answer 1

در بسط بینم$$(a_1+a_2+....a_k)^n$$ تعداد جملات برابر است با$$ \binom{n+k-1}{k-1} $$ در مثال داده شده $n=4,k=3$ است لذا$$ \binom{4+3-1}{3-1} = \binom{6} {2} = \frac{6!}{2!4!} =15$$ جمله دارد. بعبارت ساده تر تعداد جملات $$(a+b+c)^n= \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$ خواهد بود.چگونگی بسط هم بصورت زیر بیان می شود: با توجه به بسط دو جمله ای $$(a+b)^n$$ خواهیم داشت

$$(a+(b+c))^n= \binom{n}{0} a^n(b+c)^0+ \binom{n}{1} a^{n-1}(b+c)^1+.....+ \binom{n}{n} a^0(b+c)^n$$

Comments

@mahdiahmadileedari : با درود به همراه و استاد گرمی. بسیار عالی بود‌. اگر اشتباه نکنم، فرمول اولتان مربوط به دوجمله ای نیوتون نیست بلکه مربوط به فرمول بسط $(k)$ جمله ایست. فرمول تعداد جملات بسط $k$ جمله ای بسیار مفید است. در مرجع مذکور در سؤال بدون دخالت دادن فرمول بینوم نیوتن، فرمولی کلی برای بسط چندجمله ای زیر
$$(x+y+z+w+...)^n$$
ارائه کرده که بقرار زیر است.
$$\frac{n!}{a!b!c!d! ....}x^ay^bz^cw^d....$$
و در آن حاصل کسر فاکتوریل، ضریب همه جملاتی هست بشکل $(x^ay^bz^cw^d...)$ ، که در آن
$(a+b+c+d+.....=n)$ و $(a,b,c,d,.... \in \mathbb{W})$ خواهد بود. همراهی خوبتان در فهم این مطلب بسیار مفید بود. از حضور صمیمانه تان سپاسگزارم. 1+

---

@ناصر اهنگرپور کاملا درست است. سپاسگزارم