به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
337 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط MohammadHossein00 (7 امتیاز)

اثبات ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌کنید : $$x sin \frac{1}{x} < 1$$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
انتخاب شده توسط MohammadHossein00
 
بهترین پاسخ

برای اثبات این نامساوی، از لم زیر استفاده می‌کنیم که برای هر$ x $در بازه $(0,1] $داریم:

$$sin(x) ≤ x$$

با توجه به این لم، داریم:

$$sin( \frac{1}{x} ) ≤ \frac{1}{x} $$

با ضرب هر دو طرف این نامساوی در $x$، داریم:

$$x.sin( \frac{1}{x} ) ≤ 1$$

بنابراین، حاصلضرب یک عدد در سینوس معکوس آن همواره از $۱ $کوچکتر است.

توسط MohammadHossein00 (7 امتیاز)
خیلی ممنون از پاسختون آقای احمدی
ممکنه اثبات کنید که برای اعداد ۰ تا ۱ سینوس x کوچکتر از خود x هست؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...