اثبات کنید ضرب یک عدد در سینوس معکوس آن همواره از ۱ کوچکتر است

Question

اثبات ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌کنید : $$x sin \frac{1}{x} < 1$$

Answer 1

برای اثبات این نامساوی، از لم زیر استفاده می‌کنیم که برای هر$ x $در بازه $(0,1] $داریم:

$$sin(x) ≤ x$$

با توجه به این لم، داریم:

$$sin( \frac{1}{x} ) ≤ \frac{1}{x} $$

با ضرب هر دو طرف این نامساوی در $x$، داریم:

$$x.sin( \frac{1}{x} ) ≤ 1$$

بنابراین، حاصلضرب یک عدد در سینوس معکوس آن همواره از $۱ $کوچکتر است.

Comments

خیلی ممنون از پاسختون آقای احمدی
ممکنه اثبات کنید که برای اعداد ۰ تا ۱ سینوس x کوچکتر از خود x هست؟