Question

در صورتی که: $f(1+x)+f(1-x)= x^{2022} $ مطلوب است محاسبه:

$ \int _0^2f(x)dx=?$ ابتدا مقدار f(x) را از فرض مسئله محاسبه میکنیم.

Answer 1

از طرفین تساوی فرض انتگرال معین از 0 تا 1 می گیریم $$ \int _0^1(f(1+x)+f(1-x)) dx= \int_0^1x^{2022}dx= \frac{1}{2023} $$

سمت چپ تساوی A می گیریم و با استفاده از روش تغییر متغیر در انتگرالگیری داریم

$$ A=\int _0^1(f(1+x)+f(1-x)) dx=\int _0^1f(1+x)dx+ \int _0^1 f(1-x)) dx=\int _1^2f(x)dx-\int_{1}^0f(x)dx= \int _0^2 f(x) dx $$

بنابراین $$\int _0^2 f(x) dx= \frac{1}{2023} $$