به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
461 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط A-math-lover (777 امتیاز)

معمولاً برای اثبات گنگ بودنِ $\sqrt{2}$، ابتدا فرض می‌کنند که گنگ نباشد یعنی به شکل غیر مستقیم (برهان خلف) این موضوع را ثابت می‌کنند. اما پرسشم این است که آیا می‌توان یک برهان کاملاً مستقیم برای گنگ بودنِ این عدد آورد؟

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
انتخاب شده توسط A-math-lover
 
بهترین پاسخ

گاهی می‌توان اثبات‌های با برهان خلف را به صورت دیگری بازنویسی کرد تا شکل اثبات مستقیم پیدا کنند. یک راه دیگر هم استفاده از قضیه‌ای است که پیش‌تر اثبات شده‌باشد. ممکن است بگوئید که اگر قضیهٔ مربوطه با برهانِ خلف ثابت شده‌باشد، آنگاه هنوز به خاطر استناد به قضیه‌ای که اثباتش برهان خلف داشته‌است از برهان خلف استفاده می‌کنیم. روش زیر جزو همین دسته است و در نتیجه شاید مورد پسندتان نباشد.

یک عدد حقیقی یا مختلط دلخواه بردارید و آن را $r$ بنامید. به چندجمله‌ایِ ناصفرِ تک‌متغیره‌ای که ضریب‌هایش عددهایی صحیح باشند و نسبت به هم اول (ب.م.م-ِ این ضریب‌ها ۱ شود) و $r$ ریشه‌ای از آن باشد و این چندجمله‌ای دارای کمترین توان ممکن باشد، چندجمله‌ایِ کمینِ $r$ می‌گوئیم. اگر $r$ یک عدد گویا مانند $\frac{p}{q}$ باشد که $p$ و $q$ نسبت به هم اول هستند، آنگاه روشن است که یک ریشه برای $qx-p$ است (برهان خلف ندارد، یک جاگذاری و ساده‌کردن آن را نشان می‌دهد). بعلاوه تنها چندجمله‌ای درجهٔ صفری که ریشه دارد چندجمله‌ای ثابت صفر است که در تعریف حذف شده‌است پس $qx-p$ چندجمله‌ایِ کمین عددمان است. روشن است که چندجمله‌ای کمین یک عدد گویا درجه یک است و ریشه‌های یک چندجمله‌ایِ درجهٔ یک عددهایی گویا هستند. این نیز مطلبی روشن است و اثباتش برهان خلف استفاده نمی‌کند.

اکنون چندجمله‌ای کمینِ $\sqrt{2}$ چیست؟ $x^2-2$ که چندجمله‌ای درجهٔ ۲ است. اینکه ریشهٔ این چندجمله‌ای است روشن است، با جایگذاری و تعریفِ جذر ۲. اما چرا چندجمله‌ای درجه یکی دارای این ریشه نیست؟ اگر گنگ بودنِ $\sqrt{2}$ را فرض کرده‌بودیم یا قبلا نشان داده‌بودیم که خب تمام بود. اما هدف این است که گنگ بودن $\sqrt{2}$ را نتیجه بگیریم. گزارهٔ دیگری که پیرامونِ چندجمله‌ای‌های کمین داریم این است که چندجمله‌ایِ کمینِ مربوط به عدد $r$ هر چندجمله‌ای دیگری که $r$ ریشه‌اش باشد را نیز می‌شمارد. اثباتِ متداولش برهان خلف و قضیهٔ تقسیم چندجمله‌ای‌های تک‌متغیره را استفاده می‌کند. پس اینجا یک استفاده از برهان خلف را داریم.

اکنون چون $x^2-2$ بر روی اعداد صحیح تجزیه‌ناپذیر است پس چندجمله‌ای درجهٔ یکی نیست که آن را بشمارد پس چندجمله‌ای درجهٔ یکی با ریشهٔ $\sqrt{2}$ نداریم. تجزیه‌ناپذیری این چندجمله‌ای بر روی عددهای صحیح نیاز به برهان خلف ندارد. به پست زیر «https://math.irancircle.com/19321/#a19361» نگاه کنید، چون جایگذاریِ هیچ یک از عددهای مثبت و منفی ۲ و ۱ در آن صفر نمی‌دهد، پس ریشهٔ گویا ندارد و تجزیه‌پذیریِ یک چندجمله‌ایِ درجه ۲ یا ۳ یعنی حتما حداقل یک ریشه در حلقه‌ای که بر رویش تجزیه می‌کنیم (اینجا عددهای صحیح) داشته باشد.

پس با گفتن «$\sqrt{2}$ عددی گنگ است چون چندجمله‌ای کمینش درجه دو است» یک اثبات دیگر از گنگ بودنش دادیم که مستقیم برهان خلف ندارد ولی وقتی که اثبات‌ها را باز می‌کنیم در یک جا به برهان خلف برمی‌خوریم.

اما یک نکتهٔ جالب‌تر. همین که اقدام به نوشتن این اثبات کردیم به چیز جالبی برخوردیم. مفهومِ چندجمله‌ایِ کمین را کنار بگذارید. پس از نو شروع می‌کنیم. می‌دانیم که $\sqrt{2}$ یک ریشه برای $x^2-2$ است. اکنون بنا به همان پستِ «https://math.irancircle.com/19321/#a19361» می‌دانیم که این چندجمله‌ای هیچ ریشهٔ گویایی ندارد چون اگر می‌داشت باید عضو مجموعهٔ $\lbrace\pm1,\pm2\rbrace$ می‌بودند. پس $\sqrt{2}$ عددی گنگ است. شاید این روش بیشتر به چیزی که می‌خواهید نزدیک باشد.

0 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)

طبق یک تعریف، عددی گنگ است که در بسط اعشاری ، ارقام آن بطور نامنظم و بی پایان تکرار شوند. یعنی جزو اعداد اعشاری متناوب ساده یا مرکب نباشد. با این توضیح $\sqrt2$ دارای ارقام بی پایان و بدون نظم است.$$\sqrt2=0.41421356....$$

توسط A-math-lover (777 امتیاز)
@mahdiahmadileedari خب همین رو چگونه می‌توان مستقیماً ثابت کرد؟ یعنی چگونه می‌توان به شکل مستقیم ثابت کرد که $\sqrt2$ دارای ارقام بی‌پایان و بدون نظم است و مثلاً در رقم ۱۰۰ میلیاردم بعد از اعشار، نظم و دورهٔ تناوب پیدا نمی‌کند؟
توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
+1
این استدلال ایراد دارد، مانند این است که بگوییم چرا مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است و استدلالمان این است که چون مجموع هر سه زاویه مثلث 180 درجه است.
توسط قاسم شبرنگ (1,242 امتیاز)
چون تمام اعشار قابل تجربه نیست استدلال منطقی نیست.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...