اثبات تصاعد حسابی

Question

اگر

$x^2 +xy + y^2$

$x^2 + xz + z^2$

$y^2 + yz + z^2$

سه جمله متوالی از یک تصاعد حسابی باشند اثبات کنید $x , y , z$ دنباله حسابی تشکیل میدهند

Answer 1

اگر $x,y,z$سه جمله متوالی یک تصاعد حسابی باشند داریم $$y-x=z-y=d$$که$d$ قدر نسبت دنباله است. با همین روش داریم$$(x^2+zx+z^2)-(x^2+xy+y^2)=(z^2-y^2)+x(z-x)=(z-x)(x+y+z)=d(x+y+z)$$به طریق مشابه

$$(z^2+zy+y^2)-(z^2+zx+x^2)=(y^2-x^2)+z(y-x)=(y-x)(x+y+z)=d(x+y+z)$$ این یعنی $x,y,z$تشکیل دنباله حسابی می دهند.