ابهام در تعیین برد تابع

Question

سلام، در تعین برد تابع $$y= \frac{ x^{2}+x }{ x^{2} +1} $$ $$(y-1) x^{2}-x+y=0 \Rightarrow x= \frac{1 \pm \sqrt{1-4 y^{2} +4y} }{2(y-1)} $$ اینجا برای معنی دار بودن$x$ باید زیر رادیکال مثبت و مخرج مخالف صفر باشد، از مثبت بودن زیر رادیکال باید $$y \in [ \frac{1- \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2}+1 }{2}] $$ از مخالف صفر بودن مخرج باید $y \neq 1$ ولی اگر $x=1$ آن‌گاه تابع مقدار $y=1$ را اختیار می‌کند. مشکل کجاست؟

Answer 1

قبل از هر چیز واضح است که $D_f=R$.حالا برای هر $y \in R_f$ باید حداقل یک $x \in D_f$ موجود باشد که: $y=f(x)$.

حالا برای هر $y \in R_f$ دو حالت در نظر گرفته میشه:

$1) y-1=0 (y=1),y= \frac{x^2+x}{x^2+1} \Rightarrow x=1 \in D_f \Rightarrow 1\in R_f$

$2)y-1 \neq 0 ,y= \frac{x^2+x}{x^2+1} \Rightarrow(1-y)x^2-x+y=0 \Rightarrow \bigtriangleup \geq 0 \Rightarrow R_f \subseteq [ \frac{1- \sqrt{2} }{2} , \frac{1+ \sqrt{2} }{2} ] \backslash \{1\} $

لذا از $1$ و $2$ نتیجه می شود:

$R_f \subseteq [ \frac{1- \sqrt{2} }{2} , \frac{1+ \sqrt{2} }{2} ] \backslash \{1\} \cup \{1\} =[ \frac{1- \sqrt{2} }{2} , \frac{1+ \sqrt{2} }{2}]\ $

در ضمن باید نشان دهیم که$ [ \frac{1- \sqrt{2} }{2} , \frac{1+ \sqrt{2} }{2} ] \subseteq R_f$ تا اثبات کامل شود.

$ \Box $