بنابه قضیه تجزیه به عامل های اول هر عدد دلخواه طبیعی $N$ را می توان به صور زیر نشان داد:
$N=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$
که $p_i$ ها اعداد اولند و $n_i$ اعداد طبیعی.و می دانیم که تعداد شمارنده های طبیعی $N$ عبارت از $(n_1+1)(n_2+1)...(n_k+1)$
حالا اگر $N$ عدد مطلوب مسأله باشد:
$1 \leq N \leq 500 \wedge (n_1+1)(n_2+2)...(n_k+1)=6$
از طرفی دیگر $6=x \times 6=y \times 2 \times 3$ که $x$ و $y$ ضرب هر تعداد $1$ می تواند باشد.
$if 6=x \times 6 \Rightarrow \exists p:N=p^5 \Rightarrow p^5 \leq 500 \Rightarrow p=2,3$
$if 6=y \times 2 \times 3 \Rightarrow \exists p,q:N=pq^2 \Rightarrow 2q^2 \leq pq^2 \leq 500 \Rightarrow q^2 \leq 250 \Rightarrow q=2,3,5,7,11,13 \Rightarrow $
پس در شرط اول دو عدد داریم و در شرط دوم:
$ \pi( \frac{500}{2^2} )+ \pi ( \frac{500}{3^2} )+ \pi ( \frac{500}{5^2} )+ \pi ( \frac{500}{7^2} )+ \pi ( \frac{500}{11^2} )+ \pi ( \frac{500}{13^2})$
$= \pi (125)+ \pi (55)+ \pi (20)+ \pi (10)+ \pi (4)+ \pi (2)=30+16+8+4+2+1=61$
بنابر این تعداد این اعدا برابر است با $63$.
$ \Box $
