از یک تا پانصدتعداد اعدادی که شمارنده هایش شش تا می باشد چند است ؟

Question

از 1 تا 500 چند عدد وجود دارد که 6 شمارنده دارند؟تلاش من جذر پانصد را به دست آوردم 22 شد .1 تا 22 را به توان 2 رساندم .این اعداد تعدادشمارندهای آنها فرد است..

Answer 1

بنابه قضیه تجزیه به عامل های اول هر عدد دلخواه طبیعی $N$ را می توان به صور زیر نشان داد:

$N=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$

که $p_i$ ها اعداد اولند و $n_i$ اعداد طبیعی.و می دانیم که تعداد شمارنده های طبیعی $N$ عبارت از $(n_1+1)(n_2+1)...(n_k+1)$

حالا اگر $N$ عدد مطلوب مسأله باشد:

$1 \leq N \leq 500 \wedge (n_1+1)(n_2+2)...(n_k+1)=6$

از طرفی دیگر $6=x \times 6=y \times 2 \times 3$ که $x$ و $y$ ضرب هر تعداد $1$ می تواند باشد.

$if 6=x \times 6 \Rightarrow \exists p:N=p^5 \Rightarrow p^5 \leq 500 \Rightarrow p=2,3$

$if 6=y \times 2 \times 3 \Rightarrow \exists p,q:N=pq^2 \Rightarrow 2q^2 \leq pq^2 \leq 500 \Rightarrow q^2 \leq 250 \Rightarrow q=2,3,5,7,11,13 \Rightarrow$

پس در شرط اول دو عدد داریم و در شرط دوم:

$\pi( \frac{500}{2^2} )+ \pi ( \frac{500}{3^2} )+ \pi ( \frac{500}{5^2} )+ \pi ( \frac{500}{7^2} )+ \pi ( \frac{500}{11^2} )+ \pi ( \frac{500}{13^2})$

$= \pi (125)+ \pi (55)+ \pi (20)+ \pi (10)+ \pi (4)+ \pi (2)=30+16+8+4+2+1=61$

بنابر این تعداد این اعدا برابر است با $63$.

$\Box$

Comments

سلام استـاد
آیا راه ساده ای  برای دانش آموزان کلاس 8 وجود دارد؟

---

سلام.
من پیشنهاد میکنم در جاهایی که از نماد ریاضی استفاده شده به فارسی ترجمه شود.
در قسمت آخر منظور از تابع پی اکس یعنی اعداد اول کمتر یا مساوی پی اکس است.
چیزی دیگر به ذهنم نمی رسد.
سپاس.