به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
303 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
ویرایش شده توسط rezasalmanian

از 1 تا 500 چند عدد وجود دارد که 6 شمارنده دارند؟تلاش من جذر پانصد را به دست آوردم 22 شد .1 تا 22 را به توان 2 رساندم .این اعداد تعدادشمارندهای آنها فرد است..

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,358 امتیاز)

بنابه قضیه تجزیه به عامل های اول هر عدد دلخواه طبیعی $N$ را می توان به صور زیر نشان داد:

$N=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$

که $p_i$ ها اعداد اولند و $n_i$ اعداد طبیعی.و می دانیم که تعداد شمارنده های طبیعی $N$ عبارت از $(n_1+1)(n_2+1)...(n_k+1)$

حالا اگر $N$ عدد مطلوب مسأله باشد:

$1 \leq N \leq 500 \wedge (n_1+1)(n_2+2)...(n_k+1)=6$

از طرفی دیگر $6=x \times 6=y \times 2 \times 3$ که $x$ و $y$ ضرب هر تعداد $1$ می تواند باشد.

$if 6=x \times 6 \Rightarrow \exists p:N=p^5 \Rightarrow p^5 \leq 500 \Rightarrow p=2,3$

$if 6=y \times 2 \times 3 \Rightarrow \exists p,q:N=pq^2 \Rightarrow 2q^2 \leq pq^2 \leq 500 \Rightarrow q^2 \leq 250 \Rightarrow q=2,3,5,7,11,13 \Rightarrow $

پس در شرط اول دو عدد داریم و در شرط دوم:

$ \pi( \frac{500}{2^2} )+ \pi ( \frac{500}{3^2} )+ \pi ( \frac{500}{5^2} )+ \pi ( \frac{500}{7^2} )+ \pi ( \frac{500}{11^2} )+ \pi ( \frac{500}{13^2})$

$= \pi (125)+ \pi (55)+ \pi (20)+ \pi (10)+ \pi (4)+ \pi (2)=30+16+8+4+2+1=61$

بنابر این تعداد این اعدا برابر است با $63$.

$ \Box $

توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
سلام استـاد
آیا راه ساده ای  برای دانش آموزان کلاس 8 وجود دارد؟
توسط قاسم شبرنگ (2,358 امتیاز)
سلام.
من پیشنهاد میکنم در جاهایی که از نماد ریاضی استفاده شده به فارسی ترجمه شود.
در قسمت آخر منظور از تابع پی اکس یعنی اعداد اول کمتر یا مساوی پی اکس است.
چیزی دیگر به ذهنم نمی رسد.
سپاس.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...