Question

کوچکترین عددی که هم خودش و هم مجموع ارقامش بر $50$ بخش پذیر باشد ، چند رقم متمایز دارد ؟

Answer 1

اولا باید دقت کنیم هر چقدر تعداد ارقام بیشتر باشه عدد بزرگتر است(منظورم اینه که کوچکترین عدد $3$ رقمی باز از بزرگترین $2$ رقمی ها بزرگتره) پس باید سعی کنیم با کمترین تعداد ارقام این عدد رو پیدا کنیم.

اعدادی بر $50$ بخش پذیر هستند که دو رقم آخرشان $50$ یا $00$ باشد. و برای اینکه مجموع هم بر $50$ بخش پذیر باشه و کوچکترین مجموعی که بر $50$ بخش پذیر است خود $50$ است لذا عددی که جواب مساله است مجموع رقمهایش برابر $50$ است.

اگر دو رقم آخر عدد $50$ باشد چون بیشترین رقم ممکن برابر $9$ است عدد $9999950$ در شرایط مساله صدق می کند و اگر بخواهیم یکی از $9$ ها رو کم کنیم باید یک رقم اضافه کنیم که عدد بزرگتر میشود لذا کوچکترین عدد همینن است و $7$ رقمی است.

(اگر آخر عدد برابر $00$ باشد آنگاه مجموع ارقام دیگر باید برابر $50$ شود که چون بیشترین رقم ممکن برابر $9$ است حداقل $6$ رقم لازم داریم که در این صورت عدد حاصل $8$ رقمی می شود که بزرگتر از عدد $9999950$ است.)

یعنی تعداد رقم های متمایز برابر $3$ است.