اگر $a_n$ طول خط شکسته مرحله شماره $n$ باشد می توان دید و گفت ضلع سمت راست و بالا فقط شکسته میشه.نه کم میشن نه زیاد یعنی طولشان ثابت است لذا $a_n=2$و بنا به استدلال منطقی(حدس و استقراء ریاضی):
$a_1=1+1=2$
$a_2= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=2^2\times \frac{1}{2}=2...$
$a_n=2^n \times \frac{1}{2^{n-1}}=2 \Rightarrow \lim_{n\to \infty } a_n=2$
حالا توجه داریم که شهود ماست میگه این خطوط شکسته خیلی ریز منطبق بر وتر است یعنی $ \sqrt{2} =2$ نه یک استدلال منطقی ریاضی.شما اگر این کار را روی کاغذ انجام دهید بعد از چند مرحله به اندازه کافی لازم واقعن به چشم قویترین انسان از نظر بینایی هم منطبق اند.اما اگر شما این کار را روی یک صفحه دیجیتال شطرنجی با رزیلوشن بسیار بالا ساخت ژاپن یا آلمان (؟) یا در نرم افزارهای پیشرفته مثل میپل این کار را انجام دهید و مدام صفحه را زوم کنید می بینید که خطوط شکسته و وتر منطبق نیستند.
نتیجه:شما با شهود استدلال کردید که $ \sqrt{2} =2$ اما شهود در ریاضیات حداقل پیش هاردی یا گودل جایگاهی ندارد.استدلال های شهودی هنگامی ارزش پیدا میکنند که مانند استدلال من در اول صفحه ، بعدش استدلالی منطقی برای آنها آورده شود.
$ \Box $
