اثبات $\left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right]$

Question

چطوری این تساوی را اثبات کنیم:

$$\left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right]$$ به ازای هر $n\in\mathbb N$.( که $[.]$ نماد جزصحیح است)

Answer 1

تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی $x$ که بر $n$ بخشپذیر هستند $\left[\frac xn\right]=$

تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی $[x]$ که بر $n$ بخشپذیر هستند $\left[\frac {[x]}n\right]=$

بنابراین باید این دو مقدار برابر باشند.

Comments

دید خیلی خوب و جالبی بود آفرین عالی بود
خیلی ساده بدون استفاده از روابط پیچیده ریاضی به جواب رسیدی اونم با یک دید خوب

---

ممنون. البته من چون دید آنالیزی رو دوست دارم راه حل شما رو بیشتر پسندیدم.

---

fardina@
واقعا خیلی جالب حلش کردین؛ من خودم اصلا به همچین چیزی فکرم نمی‌رسید.

Answer 2

$[ \frac{x}{n} ]=k \Longrightarrow k \leq \frac{x}{n} < k+1$

$\Longrightarrow kn \leq x < (k+1)n$

يادآوري

$x \geq n \Longleftrightarrow[x] \geq n$

$kn \leq [x] < (k+1)n$

$k \leq \frac{[x]}{n} < k+1$

$[ \frac{[x]}{n} ]=k$

وباتوجه به فرض اوليه

$[ \frac{[x]}{n} ] =[ \frac{x}{n} ]$

Answer 3

داریم:

$$\frac{x}{n} =\left[\frac xn\right] +r$$ که در آن $r$ قسمت اعشاری و کمتر از $1$ است. با ضرب طرفین در $n$ بدست می آید که: $$x=\left[\frac xn\right]n +r n$$ که در آن $r n < n$ است.

باتوجه به اینکه $\left[\frac xn\right]n$ عددی صحیح است واستفاده از رابطه ی $[x+k] =k+[x]$ داریم:

$$[x]= \left[\frac xn\right]n+[ r n]$$ پس $$\frac{[x]}{n}= \left[\frac xn\right]+ \frac{[ r n]}{n}$$ و چون $r n < n$ پس $[ r n] < r n < n$یا $\frac{[ r n]}{n} < 1$

پس عبارت $\frac{[ r n]}{n}$قسمت اعشاری عدد $\frac{[x]}{n}$ و عبارت $\left[\frac xn\right]$ قسمت صحیح آن است پس $\left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right]$

Comments

این اثبات خیلی جالب بود.مرسی

Answer 4

$[x]$ رو بر n تقسیم می کنیم داریم $[x]=an+b$ که $0 \leq b< n-1$ پس $[ \frac{[x]}{n} ]=[ \frac{an+b}{n} ]=a+[ \frac{b}{n}]=a$. از طرف دیگر $x=[x]+c$که $0 \leq c< 1$ پس $b+c< n$ بنابراین $[ \frac{x}{n} ]=[ \frac{an+b+c}{n}]=a+[ \frac{b+c}{n} ]=a$.

Answer 5

$\frac{[x]}{n} \leq \frac{x}{n} < \frac{[x]+1}{n} \leq \frac{[x]}{n} +1$

در نتیجه $[ \frac{[x]}{n} ] \leq [ \frac{x}{n} ] < [ \frac{[x]}{n} ]+1$ تعریف جزء صحیح نتیجه میده $[ \frac{[x]}{n} ]=[ \frac{x}{n} ]$ فکر کنم منظور zh

Answer 6

داریم

$$\begin{bmatrix}x \end{bmatrix} \leq x < \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+1 \rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix} /n \leq x/n < \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+1 /n$$

با گرفتن جز صحیح از طرفین داریم:

$$[[x]/n] \leq [x/n] < [ ([x]+1)/n]$$ .

لذا با توجه به تعریف جز صحیح

$$[[x]/n] = [x/n]$$ .

Comments

چیزایی که نوشتین درسته ولی آخرش چطوری از تعریف جزءصحیح خط آخر رو نتیجه گرفتین؟