اثبات $ \left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right] $

Question

چطوری این تساوی را اثبات کنیم: $$ \left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right] $$ به ازای هر $ n\in\mathbb N $.( که $ [.]$ نماد جزصحیح است)

Answer 1

تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی $x $ که بر $ n $ بخشپذیر هستند $ \left[\frac xn\right]= $

تعداد اعداد صحیح کوچکتر یا مساوی $[x] $ که بر $ n $ بخشپذیر هستند $ \left[\frac {[x]}n\right]= $

بنابراین باید این دو مقدار برابر باشند.

Comments

دید خیلی خوب و جالبی بود آفرین عالی بود
خیلی ساده بدون استفاده از روابط پیچیده ریاضی به جواب رسیدی اونم با یک دید خوب

---

ممنون. البته من چون دید آنالیزی رو دوست دارم راه حل شما رو بیشتر پسندیدم.

---

fardina@
واقعا خیلی جالب حلش کردین؛ من خودم اصلا به همچین چیزی فکرم نمی‌رسید.

Answer 2

$ [ \frac{x}{n} ]=k \Longrightarrow k \leq \frac{x}{n} < k+1 $

$ \Longrightarrow kn \leq x < (k+1)n$

يادآوري

$ x \geq n \Longleftrightarrow[x] \geq n$

$kn \leq [x] < (k+1)n$

$k \leq \frac{[x]}{n} < k+1 $

$ [ \frac{[x]}{n} ]=k $

وباتوجه به فرض اوليه

$[ \frac{[x]}{n} ] =[ \frac{x}{n} ] $

Answer 3

داریم: $$ \frac{x}{n} =\left[\frac xn\right] +r $$ که در آن $ r $ قسمت اعشاری و کمتر از $1$ است. با ضرب طرفین در $ n $ بدست می آید که: $$ x=\left[\frac xn\right]n +r n$$ که در آن $ r n < n $ است.

باتوجه به اینکه $ \left[\frac xn\right]n $ عددی صحیح است واستفاده از رابطه ی $[x+k] =k+[x]$ داریم:

$$ [x]= \left[\frac xn\right]n+[ r n]$$ پس $$ \frac{[x]}{n}= \left[\frac xn\right]+ \frac{[ r n]}{n} $$ و چون $ r n < n $ پس $ [ r n] < r n < n $یا $ \frac{[ r n]}{n} < 1 $

پس عبارت $ \frac{[ r n]}{n} $قسمت اعشاری عدد $ \frac{[x]}{n} $ و عبارت $\left[\frac xn\right] $ قسمت صحیح آن است پس $ \left[\frac{[x]}{n}\right]=\left[\frac xn\right] $

Comments

این اثبات خیلی جالب بود.مرسی

Answer 4

$[x]$ رو بر n تقسیم می کنیم داریم $[x]=an+b$ که $ 0 \leq b< n-1 $ پس $[ \frac{[x]}{n} ]=[ \frac{an+b}{n} ]=a+[ \frac{b}{n}]=a $. از طرف دیگر $x=[x]+c$که $0 \leq c< 1$ پس $b+c< n$ بنابراین $[ \frac{x}{n} ]=[ \frac{an+b+c}{n}]=a+[ \frac{b+c}{n} ]=a $.

Answer 5

$ \frac{[x]}{n} \leq \frac{x}{n} < \frac{[x]+1}{n} \leq \frac{[x]}{n} +1 $

در نتیجه $ [ \frac{[x]}{n} ] \leq [ \frac{x}{n} ] < [ \frac{[x]}{n} ]+1 $ تعریف جزء صحیح نتیجه میده $[ \frac{[x]}{n} ]=[ \frac{x}{n} ]$ فکر کنم منظور zh

Answer 6

داریم

$$ \begin{bmatrix}x \end{bmatrix} \leq x < \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+1 \rightarrow \begin{bmatrix}x \end{bmatrix} /n \leq x/n < \begin{bmatrix}x \end{bmatrix}+1 /n $$

با گرفتن جز صحیح از طرفین داریم:

$$ [[x]/n] \leq [x/n] < [ ([x]+1)/n]$$.

لذا با توجه به تعریف جز صحیح

$$ [[x]/n] = [x/n] $$ .

Comments

چیزایی که نوشتین درسته ولی آخرش چطوری از تعریف جزءصحیح خط آخر رو نتیجه گرفتین؟