اگر یک معادله درجه دو دارای دو ریشه مختلط باشد این دو ریشه مزدوجند.به راحتی می توان نشان داد که تنها اعداد مختلط $ - \frac{1}{2} +- \frac{ \sqrt{3} }{2} i$ مزدوجند و یکی مربع دیگری.
در این حالت:
$4-3m=x_1+x+2=-1 \Rightarrow 3m=5 \Rightarrow m= \frac{5}{3} $
$7-4m=x_1x_2= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} =1 \Rightarrow 4m=6 \Rightarrow m= \frac{3}{2} \neq \frac{5}{3} $
پس اگر قرار باشد معادله جواب مختلط داشته باشد $m$ ی وجود ندارد که در معادله صدق کند.حالا میریم دنبال جوابهای حقیقی:
قبل از هر چیز باید $ \triangle $ مثبت باشد پس:
$ \triangle =b^2-4ac=(3m-4)^2-4(7-4m)=9m^2-8m-12>0$
$\Rightarrow m> \frac{4+2 \sqrt{31} }{9} \vee m< \frac{4-2 \sqrt{31} }{9} $
فرض کنید که $x_1,x_2$ ریشه های معادله باشندو $x_2=x_1^2$:
$x_1x_2= \frac{c}{a} \Rightarrow x_1x_1^2= \frac{7-4m}{1} \Rightarrow x_1^3=7-4m \Rightarrow x_1=(7-4m)^ \frac{1}{3} $
از طرفی دیگر:
$x_1+x_2=- \frac{3m-4}{1} =4-3m$
$x_1^2+(3m-4)x_1+7-4m=0 \Rightarrow x_2+(3m-4)x_1+7-4m=0$
دو رابطه اخیر نتیجه می دهند که:
$(3m-5)x_1=7m-11$
اگر $3m-5=0(m= \frac{5}{3} )$ به راحتی می توان نشان داد قابل قبول نیست.
$ if :3m-5\neq 0 \Rightarrow x_1= \frac{7m-11}{3m-5} $
از تر کیب رابطه های بالا داریم:
$( \frac{7m-11}{3m-5})^ \frac{1}{3} =7-4m \Rightarrow (3m-5)^3(7-4m)=(7m-11)^3$
$ \Rightarrow 108m^4-386m^3+228m^2+466m-456=0$
$2(2m-3)(27m^3-56m^2-27m+76)=0$
یکی از مقادیر $m$ مساوی $ \frac{3}{2} $ است که در این حالت هم قابل قبول نیست.
معادله درجه $3$ داخل پرانتز دارای دو ریشه مختلط است که قابل قبول نیستند و یک ریشه حقیقی است.(ریشه حقیقی را من از سایت $www.symbolab.com$ به دست آوردم که تقریبن عبارتست از $-1.11023...$ که به راحتی می توان نشان داد قابل قبوله.
پس تعداد مقادیر ممکن برای $m$ شد یکی.
$ \Box $
