به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
113 بازدید
در دبیرستان توسط MohammadHossein00 (7 امتیاز)

اگر در معادله درجه دوم زیر یکی از ریشه ها مربع ریشه دیگر باشد مقدار(مقادیر) m را بیابید. $x^{2} + (3m-4)x +7 - 4m = 0$

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

اگر یک معادله درجه دو دارای دو ریشه مختلط باشد این دو ریشه مزدوجند.به راحتی می توان نشان داد که تنها اعداد مختلط $ - \frac{1}{2} +- \frac{ \sqrt{3} }{2} i$ مزدوجند و یکی مربع دیگری.

در این حالت:

$4-3m=x_1+x+2=-1 \Rightarrow 3m=5 \Rightarrow m= \frac{5}{3} $

$7-4m=x_1x_2= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} =1 \Rightarrow 4m=6 \Rightarrow m= \frac{3}{2} \neq \frac{5}{3} $

پس اگر قرار باشد معادله جواب مختلط داشته باشد $m$ ی وجود ندارد که در معادله صدق کند.حالا میریم دنبال جوابهای حقیقی:

قبل از هر چیز باید $ \triangle $ مثبت باشد پس:

$ \triangle =b^2-4ac=(3m-4)^2-4(7-4m)=9m^2-8m-12>0$

$\Rightarrow m> \frac{4+2 \sqrt{31} }{9} \vee m< \frac{4-2 \sqrt{31} }{9} $

فرض کنید که $x_1,x_2$ ریشه های معادله باشندو $x_2=x_1^2$:

$x_1x_2= \frac{c}{a} \Rightarrow x_1x_1^2= \frac{7-4m}{1} \Rightarrow x_1^3=7-4m \Rightarrow x_1=(7-4m)^ \frac{1}{3} $

از طرفی دیگر:

$x_1+x_2=- \frac{3m-4}{1} =4-3m$

$x_1^2+(3m-4)x_1+7-4m=0 \Rightarrow x_2+(3m-4)x_1+7-4m=0$

دو رابطه اخیر نتیجه می دهند که:

$(3m-5)x_1=7m-11$

اگر $3m-5=0(m= \frac{5}{3} )$ به راحتی می توان نشان داد قابل قبول نیست.

$ if :3m-5\neq 0 \Rightarrow x_1= \frac{7m-11}{3m-5} $

از تر کیب رابطه های بالا داریم:

$( \frac{7m-11}{3m-5})^ \frac{1}{3} =7-4m \Rightarrow (3m-5)^3(7-4m)=(7m-11)^3$

$ \Rightarrow 108m^4-386m^3+228m^2+466m-456=0$

$2(2m-3)(27m^3-56m^2-27m+76)=0$

یکی از مقادیر $m$ مساوی $ \frac{3}{2} $ است که در این حالت هم قابل قبول نیست.

معادله درجه $3$ داخل پرانتز دارای دو ریشه مختلط است که قابل قبول نیستند و یک ریشه حقیقی است.(ریشه حقیقی را من از سایت $www.symbolab.com$ به دست آوردم که تقریبن عبارتست از $-1.11023...$ که به راحتی می توان نشان داد قابل قبوله.

پس تعداد مقادیر ممکن برای $m$ شد یکی.

$ \Box $

0 امتیاز
توسط Erfan29er (20 امتیاز)

سلام مقدار یکی از ریشه ها \alpha و دیگری \alpha x^{۲} میگیریم و در معادله جایگذاری میکنیم a²+(3m-4)a+7-4m=0 a⁴+(3m-4)a²+7-4m=0 معادله ها رو برابر قرار میدیم و همرو به یک طرف میبریم و از آلفا فاکتور میگیریم a(a³+a²(3m-4)-3m+4)=0 نشون میده که هر دو ریشه برابر صفر اند درآخر m=7/4

توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)
این استدلال برای زمانی درست است که دو ریشه برابر و مساوی صفر باشند.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...