فرض کنید که عدد $150^7$ را بتوان به صورت مجموع زیر نوشت:
$150^7=m+(m+1)+...+(m+n),n,m \in N$
$150^7= \frac{(n+1)(2m+n)}{2} $
حالا توجه داریم که $150=2 \times 3 \times 5^2$ بنابر این:
$(n+1)(2m+n)=2^8 \times 3^7 \times 5^{14}$
حالا توجه کنید که هر یک از پرانتزهای سمت چپ تساوی از $1$ بزرگترند و یکی از پرانتزها زوج و یکی فرد.حالا اگر یک مقسوم علیه فرد غیر $1$ از $2^8 \times 3^7 \times 5^{14}$ مانند $x$ در نظر بگیریم آنگاه $y= \frac{2^8 \times 3^7 \times 5^{14}}{x} $ زوج است و $x$ و $y$ به جای پرانتزهای سمت چپ قرار می گیرند.از طرفی دیگر $(7+1) \times (14+1)-1=120-1=119$ مقسوم علیه فرد غیر $1$ داریم که جایگزین $x$ می شوند.حالا اگر دو معادله را به صورت دستگاه دو معادله و دو مجهولی در نظر بگیریم چون همواره دترمینان ضرایب مخالف صفر است ($2 \times 1-1 \times 1=1$) پس همواره یک جواب داریم وچون همواره $2m+n>n+1$ حالت تقارن هم اتفاق نمی افتد پس جواب سؤال $119$ است .
$ \Box $
فکر کنم گزینه ها ایراد دارند.
