مسأله را در حالت کلی بررسی می کنم.
فرض کنید یک دنباله حسابی با جمله اول a_1=a و قدر نسبت d و جمله عمومی a_k داریم.حالا در سطر پائین تر دنباله همانند مسأله یک دنباله بسازیم.اگر a'_1=a' جمله اول این دنباله جدید و a'_k جمله عمومی آن باشد داریم:
a'_k=a_k+a_k+1= a+(k-1)d+a+kd = (2a+d)+(k-1)(2d)
یعنی دنباله حاصل حسابی است و a'=2a+d و d'=2d.در ضمن تعداد جملات دنباله جدید یک واحد کمتر است.حالا با این روند واضح است که هر ردیف یک دنباله حسابی است.اگر جمله عمومی دنباله ردیف n را با a(n,k) و قدر نسبت را با d(n) نشان دهیم داریم:
a(n,k)=2a(n-1,k)+d(n-1),a(n,1)=a(n)
,d(1)=1,d(n)=2d(n-1)=2^2d(n-2)=...=2^{n-1}
,a(n,k)=2a(n-1,k)+2^{n-2}
\Rightarrow a(n)=2a(n-1)+2^{n-2}
=2(2a(n-2)+2^{n-3})+2^{n-2}=2^2a(n-2)+2.2^{n-2}
=2^2(2a(n-3)+2^{n-4})+2.2^{n-2}
=2^3a(n-3)+2^{n-2}+2.2^{n-2}=2^3a(n-3)+3.2^{n-2}
=...=2^{n-1}a(1)+(n-2).2^{n-2}
=2^{n-1}+(n-1).2^{n-2}=(n+1)2^{n-2}
در اینجا داریم:
a(2000)=2001.2^{1998}
\Box
