مسأله را در حالت کلی بررسی می کنم.
فرض کنید یک دنباله حسابی با جمله اول $a_1=a$ و قدر نسبت $d$ و جمله عمومی $a_k$ داریم.حالا در سطر پائین تر دنباله همانند مسأله یک دنباله بسازیم.اگر $a'_1=a'$ جمله اول این دنباله جدید و $a'_k$ جمله عمومی آن باشد داریم:
$$ a'_k=a_k+a_k+1= a+(k-1)d+a+kd = (2a+d)+(k-1)(2d) $$
یعنی دنباله حاصل حسابی است و $a'=2a+d$ و $d'=2d$.در ضمن تعداد جملات دنباله جدید یک واحد کمتر است.حالا با این روند واضح است که هر ردیف یک دنباله حسابی است.اگر جمله عمومی دنباله ردیف $n$ را با $a(n,k)$ و قدر نسبت را با $d(n)$ نشان دهیم داریم:
$$a(n,k)=2a(n-1,k)+d(n-1),a(n,1)=a(n)$$
$$,d(1)=1,d(n)=2d(n-1)=2^2d(n-2)=...=2^{n-1}$$
$$,a(n,k)=2a(n-1,k)+2^{n-2} $$
$$\Rightarrow a(n)=2a(n-1)+2^{n-2}$$
$$=2(2a(n-2)+2^{n-3})+2^{n-2}=2^2a(n-2)+2.2^{n-2}$$
$$=2^2(2a(n-3)+2^{n-4})+2.2^{n-2}$$
$$=2^3a(n-3)+2^{n-2}+2.2^{n-2}=2^3a(n-3)+3.2^{n-2}$$
$$=...=2^{n-1}a(1)+(n-2).2^{n-2}$$
$$=2^{n-1}+(n-1).2^{n-2}=(n+1)2^{n-2}$$
در اینجا داریم:
$$a(2000)=2001.2^{1998}$$
$ \Box $
