دامنه معادله برای $a \geq 0$ مساوی $R$ است و برای $a<0$ باید $9^x+a>0$ یعنی $T=[ \frac{1}{2} Log^{-a}_3,+ \infty )$.
حالا حل معادله:
$Log_3^{(9^x+a)}=x+b \Rightarrow 9^x+a=3^{x+b}=3^b3^x$
حالا اگر قرار دهیم $z=3^x$ آنگاه به معادله زیر می رسیم:
$z^2-3^bz+a=0$
$\triangle =3^{2b}-4a=9^b-4a$
اگر $a<0$ معادله یک جواب مثبت دارد (چرا؟) و اگر $a=0$ معادله یک جواب دارد $(x=b)$. اگر $a>0 $ معادله زمانی دو جواب دارد که $\triangle >0$.با این فرض:
$z_1= \frac{1}{2} (3^b+ \sqrt{9^b-4a} ),z_2= \frac{1}{2} (3^b-\sqrt{9^b-4a} )$
به سادگی می توان نشان داد که $z_1,z_2>0$.
$ \Rightarrow x_1=Log^{ \frac{1}{2} (3^b+ \sqrt{9^b-4a} )}_3,x_2=Log^{ \frac{1}{2} (3^b-\sqrt{9^b-4a} )}_3,x_1,x_2 \in T(?)$
از طرفی دیگر بنا به فرض $x_1x_2=3$ و همچنین:
$x_1+x_2=Log^{ \frac{1}{2} (3^b+ \sqrt{9^b-4a} )}_3+Log^{ \frac{1}{2} (3^b- \sqrt{9^b-4a} )}_3=Log^{ \frac{1}{4} (9^b-(9^b-4a))}_3=Log^a_3$
بنابراین این جوابها می توانند جواب معادله $s^2-(Log^a_3)s+3=0$ نیز باشند.اما این معادله زمانی دو جواب دارد که دلتای آن مثبت باشد یعنی:
$(Log^a_3)^2-4 \times 3>0 \Rightarrow |Log^a_3|>2 \sqrt{3} $
از طرفی دیگر $9^b-4a>0$ لذا $ \frac{9^b}{4} >a$ پس:
$Log^{ \frac{9^b}{4} }_3>Log^a_3>2 \sqrt{3} \Rightarrow 2b>2 \sqrt{3} +Log^4_3 \Rightarrow b>\sqrt{3} +Log^2_3$
برای حالت $Log^a_3<0$ کافیست از شرط ضعیف $9^b>4a>0$ استفاده کنیم که نتیجه میدهد:
$b \geq 0$
$ \Box $
