به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
98 بازدید
در دبیرستان توسط MohammadHossein00 (7 امتیاز)

اگر حاصل ضرب دو جواب معادله زیر ۳ باشد، حداقل مقدار صحیح‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ b را بیابید.

$log_{3}(9^{x} + a) = x + b$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)

دامنه معادله برای $a \geq 0$ مساوی $R$ است و برای $a< 0$ باید $9^x+a>0$ یعنی $T=[ \frac{1}{2} Log^{-a}_3,+ \infty )$.

حالا حل معادله:

$Log_3^{(9^x+a)}=x+b \Rightarrow 9^x+a=3^{x+b}=3^b3^x$

حالا اگر قرار دهیم $z=3^x$ آنگاه به معادله زیر می رسیم:

$z^2-3^bz+a=0$

$\triangle =3^{2b}-4a=9^b-4a$

اگر $a< 0$ معادله یک جواب مثبت دارد (چرا؟) و اگر $a=0$ معادله یک جواب دارد $(x=b)$. اگر $a>0 $ معادله زمانی دو جواب دارد که $\triangle >0$.با این فرض:

$z_1= \frac{1}{2} (3^b+ \sqrt{9^b-4a} ),z_2= \frac{1}{2} (3^b-\sqrt{9^b-4a} )$

به سادگی می توان نشان داد که $z_1,z_2>0$.

$ \Rightarrow x_1=Log^{ \frac{1}{2} (3^b+ \sqrt{9^b-4a} )}_3,x_2=Log^{ \frac{1}{2} (3^b-\sqrt{9^b-4a} )}_3,x_1,x_2 \in T(?)$

از طرفی دیگر بنا به فرض $x_1x_2=3$ و همچنین:

$x_1+x_2=Log^{ \frac{1}{2} (3^b+ \sqrt{9^b-4a} )}_3+Log^{ \frac{1}{2} (3^b- \sqrt{9^b-4a} )}_3=Log^{ \frac{1}{4} (9^b-(9^b-4a))}_3=Log^a_3$

بنابراین این جوابها می توانند جواب معادله $s^2-(Log^a_3)s+3=0$ نیز باشند.اما این معادله زمانی دو جواب دارد که دلتای آن مثبت باشد یعنی:

$(Log^a_3)^2-4 \times 3>0 \Rightarrow |Log^a_3|>2 \sqrt{3} $

از طرفی دیگر $9^b-4a>0$ لذا $ \frac{9^b}{4} >a$ پس:

$Log^{ \frac{9^b}{4} }_3>Log^a_3>2 \sqrt{3} \Rightarrow 2b>2 \sqrt{3} +Log^4_3 \Rightarrow b>\sqrt{3} +Log^2_3$

برای حالت $Log^a_3< 0$ کافیست از شرط ضعیف $9^b>4a>0$ استفاده کنیم که نتیجه میدهد:

$b \geq 0$

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...