اگر $\log a, \log b$ جواب های معادله درجه دو باشند، حاصل $\frac ab$ را بیابید؟

Question

اگر $\log a$ و $\log b$ جواب های معادله ی $ 2 x^{2}- \sqrt{17}x +1=0 $ باشد حاصل $ \frac{a}{b} $ را بدست آورید.

Answer 1

اگر ریشه‌های معادله $ a x^{2} +bx+c=0 $ برابر $ \alpha $ و $ \beta $ باشند آنگاه $ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} $ و $ \alpha \beta= \frac{c}{a} = $ همچنین $( \alpha - \beta )^{2} =( \alpha+ \beta )^{2}-4 \alpha \beta $ پس در اینجا $\log a+\log b = \frac{ \sqrt{17} }{2} $ و $\log a \times \log b= \frac{1}{2} $ همچنین $ (\log a-\log b)^{2}= \frac{17}{4}- \frac{4}{2} = \frac{9}{4} $

$$\log \frac{a}{b} =\log a-\log b= \underline{+} \sqrt{\frac{9}{4} }=\frac 32$$

اگر فرض کنیم $ \log a $ ریشه بزرگتر است آنگاه $\log \frac{a}{b}= \frac{3}{2} $ پس $\frac{a}{b}= 10^{\frac{3}{2} } $.

Answer 2

اگر $\alpha,\beta$ ریشه های معادله $ax^2+bx+c=0$ باشند آنگاه $$|\alpha-\beta|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}$$

در اینجا اگر قرار دهیم $x=\frac ab$در اینصورت $\log x=\log\frac ab$ و لذا $|\log x|=|\log\frac ab|=|\log a-\log b|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}=\frac 32$ بنابراین $\log x=\pm\frac 32$ و لذا $x=10^{\pm \frac 32}$

Comments

دوستان دستتون درد نکنه لطف کردین

---

موفق و موید باشید

Answer 3

\begin{align} & \Delta =17-8=9\\ & x_{1}= \frac{\sqrt{17}+ \sqrt{9}}{4}= \frac{\sqrt{17}+ 3}{4}=\log a\quad\colon (1)\\ & x_{2}= \frac{\sqrt{17}-\sqrt{9}}{4}= \frac{\sqrt{17}- 3}{4}=\log b\quad\colon (2)\\ & (1) \Rightarrow 4\log a=\sqrt{17}+ 3\\ & (2) \Rightarrow 4\log b=\sqrt{17}- 3\\ & (1)-(2) \Rightarrow \log \frac{a}{b} = \frac {3}{2}\Rightarrow\frac{a}{b}= 10^{\frac{3}{2} } \end{align}

Comments

خیلی ممنون

---

خواهش میکنم.
موفق باشید.