نسبت مساحت ها در متوازی اضلاع

Question

در متوازی اضلاع ABCD مجموع مساحت های سه مثلث ۰.۳ مساحت متوازی اضلاع است. مساحت مثلث MNO چه کسری از مساحت متوازی اضلاع است؟

Answer 1

قراد دهید $AM=x$ و $MN=a$ و $NB=y$ و ارتفاع متوازی الاضلاع $h$ و $h_0$ ارتفاع مثلث $OMN$ و $h_1$ ارتفاع مثلث $OCD$ و $AB=CD=z$ و $S_{ABCD}=S$ و $S_{AMD}=S_1$ و $S_{OMN}=S_0$ و $S_{ONC}=T_0$ و $S_{BNC}=S_3$ و $S_{OCD}=T_1$ .بنابر این :

واضح است که $h_0+h_1=h$ و $S_{MDO}=S_{NCO}$ و $x+y+a=z$(؟) و

$S_{AMCD}+S_0+T_0+S_2=S \Rightarrow \frac{x+z}{2} h+S_0+T_0+S_2=S$

$\Rightarrow xh+zh+2S_0+2T_0+S_2=2S \Rightarrow 2S_1+S+2S_0+2T_0+2S_2=2S$

$2(S_1+S_0+S_1)+2T_0=S \Rightarrow 0.6S+2T_0=S \Rightarrow 2T_0=0.4S$

$\Rightarrow T_1=(1-0.4-0.3)S\Rightarrow T_1=0.3S \Rightarrow h_1= \frac{6}{10} h \Rightarrow h_0=0.4h$

از طرفی دیگر:

$S_1+S_2+S_0=S \Rightarrow \frac{x}{2} h+ \frac{y}{2} h+ \frac{a}{2}0.4h=0.3hz \Rightarrow x+y+0.4a=0.6z$

$\Rightarrow z-a+0.4a=0.6a \Rightarrow z=a+0.6a-0.4a=1.2a \Rightarrow a= \frac{5}{6} z$

$\Rightarrow S_0= \frac{1}{2} ah_0= \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{10} hz= \frac{1}{6} hz \Rightarrow S_0= \frac{1}{6} S$

$\Box$

Comments

خیلی ممنونم
راه حل بسیار زیبایی بود

---

ریاضیات نهایت زیباییست.
هیچ کس نمیتواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده ست بیرون کند.(هیلبرت خطاب به کانتور).