احتمال معیوب بودن لامپ هایی که به طور تصادفی انتخاب شدن

Question

در دو جعبه به ترتیب ۲۰ و ۱۲ لامپ موجود است. در جعبه اول ۴ لامپ و در جعبه دوم ۳ لامپ معیوب است . از جعبه اول ۵ لامپ و از جعبه دوم ۷ لامپ به تصادف برداشته و در جعبه جدید قرار میدیم.با کدام احتمال یک لامپ انتخابی از جعبه جدید معیوب است؟

Answer 1

فرض $X$ پیشامد تعداد لامپهای انتخابی معیوب از جعبه اول باشد و $Y$ پیشامد تعداد لامپهای معیوب از جعبه دوم باشد واضح است که $0 \leq X \leq 4$ و $0 \leq Y \leq 3$.حالا $A$ را لامپ معیوب انتخابی از جعبه سوم باشد:

$ \forall 0 \leq i \leq 4,0 \leq j \leq 3:P(X=i)= \frac{ \binom{4}{i} \binom{16}{5-i} }{ \binom{20}{5} },P(Y=j)= \frac{ \binom{3}{j} \binom{9}{7-j} }{ \binom{12}{7} }$

$,P(X=i,Y=j)=P(X=i) \times P(Y=j)$

$,P(A|(X=i,Y=j)= \frac{ \binom{i+j}{1} }{ \binom{12}{1} }= \frac{i+j}{12} $

حالا بنابه قانون ( فرمول ) بیز داریم:

$P(A)= \sum _{i=0}^4 \sum _{j=0}^3P(A|(X=i,Y=j) \times P(X=i,Y=j)$

$ \Box $

توجه شود که اگر $k>n$ آنگاه $ \binom{n}{k} =0$.

Answer 2

پیچیدش نمیکنم. یک نمودار درختی هست. ابتدا دو شاخه رسم میکنیم و در انتهای دو شاخه، احتمال برداشت هر لامپ از هر جعبه رو می نویسیم. به احتمال پنج دوازدهم لامپ از جعبه اول، و هفت دوازدهم از جعبه دوم هست. به احتمال چهار بیستم لامپ جعبه اول معیوب، و به احتمال سه دوازدهم لامپ جعبه دوم معیوب است: