فرض کنید:
$ \overrightarrow{a} =(a_1,a_2,a_3)=a_1 \overrightarrow{i}+a_2 \overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$
$,\overrightarrow{b} =(b_1,b_2,b_3)=b_1 \overrightarrow{i}+b_2 \overrightarrow{j} +b_3\overrightarrow{k}$
$ , \overrightarrow{c} =(c_1,c_2,c_3)=c_1 \overrightarrow{i}+c_2 \overrightarrow{j} +c_3\overrightarrow{k}$
$\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})= \overrightarrow{a} \times ((b_2c_3-b_3c_2)\overrightarrow{i} +(b_3c_1-b_1c_3) \overrightarrow{j} +(b_1c_2-b_2c_1) \overrightarrow{k})$
$=[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3)]\overrightarrow{i}+[a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_2-b_2c_1)]$
$\overrightarrow{j}+[a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)] \overrightarrow{k}=[(a_2c_2+a_3b_3)b_1-(a_2b_2+a_3b_3)c_1] \overrightarrow{i}$
$ +[(a_3c_3+a_1c_1)b_2-(a_3b_3+a_1b_1)c_2] \overrightarrow{j} +[(a_1c_1+a_2c_2)b_3-(a_1b_1+a_2b_2)c_3] \overrightarrow{k} $
حالا اگر به کرشه ها به ترتیب عبارات $a_1b_1c_1$ و $a_2b_2c_3$ و $a_3b_3c_3$ را اضافه و کم کنیم و مثبت را با پرانتز اول و منفی را با پرانتز دوم در نطر بگیریم داریم:
$\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})=[(a_1c_1+a_2c_2+a_3b_3)b_1-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)c_1] \overrightarrow{i}$
$+[(a_2c_2+a_3c_3+a_1c_1)b_2-(a_2b_2+a_3b_3+a_1b_1)c_2] \overrightarrow{j}$
$+[(a_1c_1+a_2c_2+a_3b_c)b_3-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)c_3] \overrightarrow{k} $
حالا با توجه به اینکه:
$ \overrightarrow{a} . \overrightarrow{c} =a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3, \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
نتیجه می گیریم که:
$ \overrightarrow{a} \times ( \overrightarrow{b} \times \times \overrightarrow{c} )=(a_1c_1+a_2c_2+a_3b_3)[b_1\overrightarrow{i} $
$+b_2\overrightarrow{j} +b_3 \overrightarrow{k}]-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)
[c_1\overrightarrow{i} +c_2\overrightarrow{j}$
$+c_3] \overrightarrow{k}=( \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} ) \overrightarrow{b} -( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}) \overrightarrow{c}$
$ \Box $
