$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=6 \Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=6$
$ \Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=3$
$ \Rightarrow (a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc-ab-ac-bc=3 \Rightarrow 36-3(ab+ac+bc)=3$
$ab+ac+bc=11$
حالا اگر $a,b,c$ را ریشه های معادله ای درجه $3$ با مجهول (متغیر) $x$ بگیریم داریم:
$(x-a)(x-b)(x-c)=0 \Rightarrow x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=0$
$ \Rightarrow x^3-6x^2+11x-6=0$
حالا توجه داریم که $1-6+11-6=0$ یعنی مجموع ضرایب $0$ است پس یکی از ریشه ها $1$ است و معادله بر $x-1$ بخش پذیر است:
$(x-1)(x^2-5x+6)=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0$
پس ریشه ها عبارتند از $3,2,1$.حالا چون معادلات اولیه هرسه نسبت به $c,b,a$ متقارن اند پس هر جایگش $3,2,1$ یک جواب مسأله است.یعنی مسأله $6$ جواب دارد.
$ \Box $
