به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
64 بازدید
در دبیرستان توسط .math lover. (7 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط قاسم شبرنگ

روی قاعده ی $AC$ در مثلث متساوی الساقین $ABC$ نقطه ی $D$ و روی ادامه ی ضلع $AC$ از طرف $C$ نقطه ی $E$ را طوری انتخاب کرده ایم که $AD=CE$. ثابت کنید:

$BD+BE< AB+BC$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
 
بهترین پاسخ

حکم این سوال نادرست است.

مثلثی متساوی الاضلاع به طول هر ضلع $6$ را در نظر بگیرید حالا $D$ را طوری انتخاب کنید که $BD=5$.بنابر این $DC=1$.اگر قرار دهیم $AD=x$ و $BE=z$ ،بنا به قضیه کسینویها داری:

$x^2=6^2+1^2-2 \times 6 \times 1 \times cos \frac{ \pi }{3}=36+1-2 \times 6 \times 1 \times 0.5=31$

$,z^2=BC^2+BE^2-2BC.CE.cos( \pi - \frac{ \pi }{3} )=6^2+31+2 \times 6 \times \sqrt{31} \times 0.5$

$=67+6 \sqrt{31}$

با یک محاسبه ساده داریم:

$z^2=67+6 \sqrt{31} \geq 49=(6+1)^2 \Rightarrow z \geq 6+1 \Rightarrow BE \geq AC+CD$

حالا اگر به طرفین $BD$ را اضافه کنیم چون $AB=AC$ داریم:

$BE+BD \geq AB+BC$

اگر جهت نامساوی را عوض کنیم باز هم درست نیست.برای این کار کافیست نقطۀ $D$ را در یک سانتی متری رأس $B$ بگیرید.یک بار دیگر استدلال بالا را تکرار کنید تا به تناقض $11>4 \sqrt{31} $ برسید.

$ \Box $

توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
جواب سوال اصلاح شد.
توسط .math lover. (7 امتیاز)
متشکرم
فقط ببخشید در قسمتی که نوشتید BE<CE, مگه طبق قضیه ضلع برتر،  BE از CE بزرگتر نمیشه؟
توسط .math lover. (7 امتیاز)
چهار خانه روی راس های چهارضلعی ای محدب قرار دارند. چاه آب را کجا بزنیم تا مجموع فاصله خانه ها تا چاه آب کمترین مقدار ممکن باشد؟

درمورد این سوال، من ایده ای که داشتم این بود که از قضیه ی هرون استفاده کنیم،اما با توجه به این که نوع چهارضلعی مشخص نیست، کمی گیج شدم
ممنون میشم در این باره هم راهنمایی بفرمایید
توسط .math lover. (7 امتیاز)
خیلی عذرخواهی میکنم، در حکم سوال اشتباه تایپی وجود داشت.
حکم اصلی سوال :  BD+BE>AB+BC
این سوال با نامساوی مثلث چطور حل میشه؟
توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
سلام.
باز هم حکمی نادرست است.دلیلش را در ویرایش پاسخ آوردم.لطفن یک بار دیگر پاسخ را ببینید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...