نامساوی مثلث متساوی الساقین

Question

روی قاعده ی $AC$ در مثلث متساوی الساقین $ABC$ نقطه ی $D$ و روی ادامه ی ضلع $AC$ از طرف $C$ نقطه ی $E$ را طوری انتخاب کرده ایم که $AD=CE$. ثابت کنید:

$BD+BE< AB+BC$

Answer 1

حکم این سوال نادرست است.

مثلثی متساوی الاضلاع به طول هر ضلع $6$ را در نظر بگیرید حالا $D$ را طوری انتخاب کنید که $BD=5$.بنابر این $DC=1$.اگر قرار دهیم $AD=x$ و $BE=z$ ،بنا به قضیه کسینویها داری:

$x^2=6^2+1^2-2 \times 6 \times 1 \times cos \frac{ \pi }{3}=36+1-2 \times 6 \times 1 \times 0.5=31$

$,z^2=BC^2+BE^2-2BC.CE.cos( \pi - \frac{ \pi }{3} )=6^2+31+2 \times 6 \times \sqrt{31} \times 0.5$

$=67+6 \sqrt{31}$

با یک محاسبه ساده داریم:

$z^2=67+6 \sqrt{31} \geq 49=(6+1)^2 \Rightarrow z \geq 6+1 \Rightarrow BE \geq AC+CD$

حالا اگر به طرفین $BD$ را اضافه کنیم چون $AB=AC$ داریم:

$BE+BD \geq AB+BC$

اگر جهت نامساوی را عوض کنیم باز هم درست نیست.برای این کار کافیست نقطۀ $D$ را در یک سانتی متری رأس $B$ بگیرید.یک بار دیگر استدلال بالا را تکرار کنید تا به تناقض $11>4 \sqrt{31} $ برسید.

$ \Box $

Comments

جواب سوال اصلاح شد.

---

متشکرم
فقط ببخشید در قسمتی که نوشتید BE<CE, مگه طبق قضیه ضلع برتر،  BE از CE بزرگتر نمیشه؟

---

چهار خانه روی راس های چهارضلعی ای محدب قرار دارند. چاه آب را کجا بزنیم تا مجموع فاصله خانه ها تا چاه آب کمترین مقدار ممکن باشد؟

درمورد این سوال، من ایده ای که داشتم این بود که از قضیه ی هرون استفاده کنیم،اما با توجه به این که نوع چهارضلعی مشخص نیست، کمی گیج شدم
ممنون میشم در این باره هم راهنمایی بفرمایید

---

خیلی عذرخواهی میکنم، در حکم سوال اشتباه تایپی وجود داشت.
حکم اصلی سوال :  BD+BE>AB+BC
این سوال با نامساوی مثلث چطور حل میشه؟

---

سلام.
باز هم حکمی نادرست است.دلیلش را در ویرایش پاسخ آوردم.لطفن یک بار دیگر پاسخ را ببینید.