واضح است که اگر $U$ و W دو زیرفضای برداری $V$ باشند آنگاه $U+W$ نیز زیرفضایی از $V$ است.طبق تعریف این مجموع را مستقیم گویند ( و با $U \oplus W$ نشان می دهند) هرگاه هر عضو $v \in (U+W)$ را به صورت منحصر به فردی به صورت $v=u+w$ نوشت که $u \in U$ و $w \in W$.
حالا فرض می کنیم که $U \cup W= V$ و $U \cap W= \emptyset $:
$ \forall u \in U,w \in W:u=u+o,w=0+w \Rightarrow u,w \in U+W \Rightarrow U,W \subseteq U+W$
$U \cup W \subseteq U+W \Rightarrow V \subseteq U+W \subseteq V \Rightarrow U+W=V$
یعنی $V$ مجموع $U$ و $W$.حالا باید ثابت کنیم این مجموع مستقیم است:
$if:v \in V,u_1,u_2 \in U,w_1,w_2 \in W,v=u_1+w_1=u_2+w_2$
$ \Rightarrow (u_1-u_2)=(w_2-w_1) \in (U \cap W)=o_V \Rightarrow u_1-u_2=w_2-w_1=0_V$
$u_1=u_2,w_1=w_2$
یعنی نمایش هر عضو $V$ منحصر به فرد است پس $V=U \oplus W$.
$ \Box $
