به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
35 بازدید
در دانشگاه توسط Z.H.A (7 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

با سلام وقت بخیر اثبات عکس قضیه مجموع مستقیم به چه صورت است ؟ اگر $V$ مجموع مستقیم $U$ و $W$ باشد( منحصر به فرد باشد )آنگاه اشتراک آنها صفر و اجتماع آنها ، فضای برداری است .

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
انتخاب شده توسط Z.H.A
 
بهترین پاسخ

واضح است که اگر $U$ و W دو زیرفضای برداری $V$ باشند آنگاه $U+W$ نیز زیرفضایی از $V$ است.طبق تعریف این مجموع را مستقیم گویند ( و با $U \oplus W$ نشان می دهند) هرگاه هر عضو $v \in (U+W)$ را به صورت منحصر به فردی به صورت $v=u+w$ نوشت که $u \in U$ و $w \in W$.

حالا فرض می کنیم که $U \cup W= V$ و $U \cap W= \emptyset $:

$ \forall u \in U,w \in W:u=u+o,w=0+w \Rightarrow u,w \in U+W \Rightarrow U,W \subseteq U+W$

$U \cup W \subseteq U+W \Rightarrow V \subseteq U+W \subseteq V \Rightarrow U+W=V$

یعنی $V$ مجموع $U$ و $W$.حالا باید ثابت کنیم این مجموع مستقیم است:

$if:v \in V,u_1,u_2 \in U,w_1,w_2 \in W,v=u_1+w_1=u_2+w_2$

$ \Rightarrow (u_1-u_2)=(w_2-w_1) \in (U \cap W)=o_V \Rightarrow u_1-u_2=w_2-w_1=0_V$

$u_1=u_2,w_1=w_2$

یعنی نمایش هر عضو $V$ منحصر به فرد است پس $V=U \oplus W$.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...