اثبات فرمول فاصله ی نقطه از خط

Question

فرمول فاصله ی نقطه از خط را اثبات کنید. ممنون.

Answer 1

فرض کنید خط $L$ به معادله $ax+by+c=0$ را داشته باشیم ( $a,b\neq 0$ ) و بخواهیم فاصله ی $A(x_0,y_0)$ از خط $L$ یعنی طول پاره خط $AB$را بیابیم. توجه کنید که $AB$ برخط$L$ عمود است.

شیب خط $L$ برابر است با $m=\frac{-a}{b}$ و چون خط $AB$ بر خط $L$ عمود است پس شیب خط $AB$ برابر است با $m'=\frac{-1}{m}=\frac ba$ . اما شیب خط $AB$ را اگر با استفاده از مختصات نقاط $A,B$ بیابیم داریم: $m'=\frac{y_0-y_b}{x_0-x_b}$ . پس باید $\frac{y_0-y_b}{x_0-x_b}=\frac ba $ و لذا $ a(y_0-y_b)-b(x_0-x_b)=0 $ . اگر طرفین این تساوی را به توان دو برسانیم داریم:

$$a^2(y_0-y_b)^2+b^2(x_0-x_b)^2=2ab(x_0-x_b)(y_0-y_b)\tag{*}$$ . حال داریم:

$$\begin{align}(a^2+b^2)((x_0-x_b)^2+(y_0-y_b)^2)&=a^2(x_0-x_b)^2\\&+a^2(y_0-y_b)^2+b^2(x_0-x_b)^2\\&+b^2(y_0-y_b)^2\\ &=^{(*)}a^2(x_0-x_b)^2\\&+2ab(x_0-x_b)(y_0-y_b)\\& +b^2(y_0-y_b)^2\\ &=(a(x_0-x_b)+b(y_0-y_b))^2\end{align}$$

و لذا داریم: $$(x_0-x_b)^2+(y_0-y_b)^2=\frac{(a(x_0-x_b)+b(y_0-y_b))^2}{a^2+b^2}$$

اگر از طرفین جذر بگیریم داریم: $$|AB|=\sqrt{(x_0-x_b)^2+(y_0-y_b)^2}=\frac{|ax_0+by_0-(ax_b+by_b)|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ اما توجه کنید که $B(x_b,y_b)$ در معادله خط $ax+by+c=0$ صدق می کند لذا $ax_b+by_b=-c$ بنابراین تساوی قبل به صورت زیر در می آید:

$$|AB|=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

برای اثبات های بیشتر به اینجا نگاه کنید.

Comments

@fardina
ممنون بایت پاسخ..
چرا باید خط$AB$بر خط $L$عمود باشد؟

---

@asal4567
چون تعریف فاصله نقطه از خط یعنی کوتاهترین فاصله نقطه از خط. و کوتاهترین فاصله نقطه از خط میشه پاره خط عمود بر آن خط.(چرا؟!)
چون اگه $AB$ عمود نباشد در اینصورت از $A$ بر خط عمود میکنیم که $AH$ ساخته بشه. در اینصورت در مثلث قایم الزاویه $ABH$ ضلع $AB$ وتر است و لذا طبق قضیه فیثاغورث $AB$ از $AH$ بزرگتر است و با تعریف کوتاهترین فاصله در تناقض می شود.

---

خیلی ممنون، عالی بود⚘

Answer 2

یک روش دیگر با استفاده از هندسه تحلیلی پیش دانشگاهی:

در کتاب هندسه تحلیلی پیش دانشگاهی ثابت می شود که فاصله ی نقطه $P$ از خط $L$ با بردار هادی $u$ برابر است با $\frac{|u\times \overrightarrow{P_0P} |}{|u|}$ که در آن $P_0$ یک نقطه دلخواه از خط $L$ است.

حال اگر خط به معادله $ L:ax+by+c=0$ را در نظر بگیریم در اینصورت فاصله نقطه $P(x_0,y_0)$ از خط $L$ با استفاده از فرمول فوق به دست می آوریم. بردار هادی را با استفاده از نقاطی که خط محور طولها و عرضها را قطع کرده به دست می آوریم برابر است با $u=(-\frac ca, \frac cb)$ و نقطه ی دلخواه $P_0$ را نقطه ای میگیریم که خط محور طولها را قطع کرده است $P_0=(-\frac ca, 0)$ . لذا $P_0P=(x_0+\frac ca, y_0)$ . با استفاده از ضرب خارجی داریم: $$u\times P_0P=0i+0j+(-\frac ca y_0-\frac cb x_0-\frac{c^2}{ab})k$$ .

و داریم:$$d=\frac{|u\times P_0P|}{|u|}=\frac{|\frac{c}{ab}(ax_0+by_0+c)|}{\sqrt{\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}}}= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$