به فرض منحنی شما با تابع y=f(x) داده شده‌باشد و نقطه‌ای که می‌خواهید فاصله‌اش را از این منحنی بیابید A=(a,b) باشد.
فاصله‌ای که دنبالش می‌گردید درازای پاره‌خطی است که از نقطهٔ A می‌گذرد و بر منحنی عمود است. پس اگر نقطهٔ برخورد این پاره‌خط و منحنی را B بنامید آنگاه دو مطلب را می‌دانیم، یکم اینکه چون این نقطه روی منحنی است پس اگر طول این نقطه را x_0 بنامیم آنگاه B=(x_0,f(x_0)) و دوم اینکه شیب خطی که این پاره‌خط بخشی از آن است برابر با شیب خط عمود بر این منحنی در این نقطه است. اما می‌دانیم که این شیب برابر با منفی وارون شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است. شیب خط مماس بر یک منحنی در یک نقطه نیز حاصل جایگذاری مختصات نقطه در مشتق تابع است. پس باید y'=f'(x) را بیابید و سپس با قرار دادن m=\dfrac{-1}{y'}، شیب خط عمود برابر m است. اکنون این خط عمود بر منحنی و گذرا از نقطهٔ A را \ell بنامید. فرمول یک خط با شیب m و گذرا از نقطهٔ (u,v) عبارت بود از \ell\;:\;y=m(x-u)+v. با توجه به مقدار شیب در حالت پرسش ما و با در نظر گرفتن نقطهٔ B، \ell برابر می‌شود با y=\dfrac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0). اما هنوز این فرمول یک متغیر دارد که برایمان مجهول است و آن به خاطر مجهول بودن نقطهٔ برخورد بود. چگونه این مجهول را رفع کنیم؟ از داده‌هایی که داریم استفاده می‌کنیم. چون نقطهٔ A قرار است روی این خط باشد پس بیاییم مختصاتش را جایگذاری کنیم و ببینیم چه می‌شود.
A\in \ell\Longrightarrow b=\dfrac{-1}{f'(x_0)}(a-x_0)+f(x_0)
اکنون یک معادله-یک مجهول داریم. آن را حل می‌کنیم و
x_0 را بدست می‌آوریم. با بدست‌آوردن
x_0 کار تمام است زیرا نقطهٔ
B=(x_0,f(x_0)) را خواهیم داشت و با داشتن آن از فرمول درازای پاره‌خط داریم؛
|AB|=\sqrt{(a-x_0)^2+(b-f(x_0))^2}
که
|AB| دقیقا همان فاصله‌ای است که دنبالش بودیم.
اما توجه کنید که در یک معادله-یک مجهولمان یک نکته نهفته‌است. ممکن است به جای رسیدن به پاسخ به تناقض بر بخوریم. این چیزی عجیب نیست و دلیلش آن است که فرمول خط را y=m(x-u)+v در نظر گرفته‌بودیم ولی باید بدانید که همهٔ خط‌های صفحهٔ دو بعدی اقلیدسی به شکل y=m(x-u)+v نوشته نمی‌شوند و یک استثناء دارد! زمانی که شیب خط تعریف‌نشده‌باشد نمی‌توانیم از فرمول y=m(x-u)+v استفاده کنیم و باید از فرمول x=c استفاده کنیم. پس اگر به جای حل شدن یک معادله-یک مجهولمان به تناقض برخوردیم معنایش این است که فرمول خط به شکل \ell\;:\;x=c است (یک خط عمودی) بوده‌است. در این حالت هنوز می‌شود مجهولمان را بیابیم. از داده‌هایمان داریم که نقطه‌های A و B باید روی این خط باشند که نتیجه می‌دهد؛
\begin{array}{l}B\in\ell\Longrightarrow c=x_0\\A\in\ell\Longrightarrow c=a\\x_0=a\end{array}
اکنون بیاییم یک نمونه را حل کنیم. به فرض منحنی ما یک سهمی با فرمول y=x^2 است و نقطه‌مان A=(-1,0) است.
\begin{array}{l}
y'=2x\\
m=\dfrac{-1}{2x}\\
B=(x_0,x_0^2)\\
\ell\;:\;y=\dfrac{-1}{2x_0}(x-x_0)+x_0^2\\
\begin{array}{lll}
A\in\ell & \Longrightarrow & 0=\dfrac{-1}{2x_0}(-1-x_0)+x_0^2\\
& \Longrightarrow & x_0^3+x_0+1=0\\
& \Longrightarrow & x_0\simeq -0.5897545124
\end{array}\\
B=(-0.5897545124,0.3478103849)\\
|AB|\simeq 0.5378414487
\end{array}
اما اگر نقطه‌مان را به A=(0,-1) تغییر دهیم آنگاه
A\in\ell\Longrightarrow -1=\dfrac{-1}{2x_0}(0-x_0)+x_0^2\Longrightarrow x_0^2+x_0+1=0
که پاسخ حقیقی ندارد پس خط مان عمودی بوده‌است.
\ell\;:\;x=0
و داریم
B=(0,0) و
|AB|=1.
امیدوارم لذت برده‌باشید، متأسفانه زمان برای تصویر کشی و گذاشتن نداشتم.
