بیشترین حالت این مجموع زمانی است که اعداد $39,3531,27$ انتخاب شوند که مجموع آنها $132$ و کمترین مقدار این چهار عدد زمانی اس که اعدا $27, 23,19,15$ انتخاب شوندکه مجموع آنها برابر $84$ است..حالا اگر اعدا مجموعه فوق را به عنوان یک دنباله حسابی در نظر بگیریم باید در هر حالت مجموع چهار جمله این دنباله را در نظر بگیریم:
$a_n=a_1+(n-2)d=35+(n-1) \times 4=4n+11$
حالا برای چهار جمله متفاوت $n_4,n_3,n_2,n_1$ داریم:
$a_{n_1}+a_{n_2}+a_{n_3}+a_{n_4}=4(n_1+n_2+n_3+n_4)+44=84 \vee 88 \vee ... \vee 132$
$ \Rightarrow n_1+n_2+n_3+n_4=10 \vee 11 \vee ... \vee 22$
بنابر این $22-10+1=13$ معادله داریم.)(توجه کنید که معادلات سیاله فوق حتمن جواب دارند و جوابی که مد مظر ماست یعنی $n_i>0$ و $n_i$ ها متفاوتند تضمین است).
پس متوجه شدیم که تعداد اعداد حاصل از مجموعهای متفاوت چهار عدد مجموعه برابر است با تعداد معادله ها که در هر حالت ممکن است این اعداد با تعدادی حالت متفاوت که برابر تعداد جوابهای غیر صفر هر معادله است مشخص شود.
$ \Box $
