بازتابی بودن. باید نشان دهیم $A \sim A $ برای اینکار طبق تعریف باید $P $ ای نامنفرد پیدا شود که داشته باشیم $ A= P^{-1}AP $ که بوضوح ماتریس همانی اینکار را برایمان انجام میدهد لذا کافیه قرار دهیم $P=I $ آنگاه:
$A= P^{-1}AP \Rightarrow A \sim A$
برای خاصیت تقارنی باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ آنگاه داریم $B \sim A $
از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ حال اگر طرفین را از راست در $P $ و از چپ در $P^{-1} $ ضرب کنیم داریم $PAP^{-1}=B $ که می توان آن را به صورت
$B=(P^{-1})^{-1} AP^{-1} $ نوشت که با قرار دادن $Q=P^{-1} $ آنگاه رابطه به صورت $B=Q^{-1}AQ $ در می آید یعنی طبق تعریف داریم $B \sim A $
تعدی: باید ثابت کنیم که اگر $A \sim B $ و $B \sim C $ آنگاه $A \sim C $
از اینکه $A \sim B $ داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $
از اینکه $B \sim C $ داریم که $Q $ ای نامنفرد وجود دارد که $ B= Q^{-1}CQ $
به جای $ B $ در رابطه ی $ A= P^{-1}BP $ مقدار $ B= Q^{-1}CQ $ را جایگزین میکنیم پس داریم
$$A= P^{-1}BP= P^{-1}Q^{-1}CQP= (QP)^{-1}CQP \Rightarrow A \sim C$$
دقت کنید از اینکه $ P$و$ Q $ نامنفرد هستند داریم $QP $هم نامنفرد است.
$\\$
برای اثبات آخرین مطلب فرض کنید $ A,B $ متعلق به یک رده هم ارزی باشند پس $A \sim B $ و داریم که $P $ ای نامنفرد وجود دارد که $ A= P^{-1}BP $ اگر نشان بدهیم چند جمله ای مشخصه این دو ماتریس یکی هستند حکم ثابت می شود. دقت کنید که $p_{A} ( \lambda)=\det(A- \lambda I)$ و $ p_{B} ( \lambda)=\det(B- \lambda I) $.
در تعریف چند جمله ای مشخصه برای $A$ بجای $A$ مقدار $ P^{-1}BP $ را جایگذاری می کنیم و همچنین از اینکه $I=P^{-1}IP $ به جای $ I $ قرار می دهیم:$P^{-1}IP$
$$ p_{A} ( \lambda)=\det(P^{-1}BP- \lambda I)= \det(P^{-1}BP- \lambda P^{-1}IP)=$$
$$\det(P^{-1}BP- P^{-1} \lambda IP)=\det(P^{-1}(B- \lambda I )P)= \det(P^{-1})\det(B- \lambda I )\det(P)=\det(B- \lambda I )=p_{B} ( \lambda)$$
