این تابعی را که شما معرفی کردید نمیتونه عامل انتگرال ساز باشد زیرا:
$ \frac{\partial \mu M}{\partial y} =6xy+12y^3-2xy \neq 2y^3-12xy-6y^3= \frac{\partial \mu N}{\partial x} $
اما این معادله دیفرانسیل با تغییر متغیر ساده $z=y^2$ حل میشه:
$z=y^2 \Rightarrow dz=2ydy$
$\Rightarrow(2y^2-x)dx+(2y^3-6xy)dy=(2y^2-x)dx+(y^2-3x)(2ydy)=0$
$ \Rightarrow (2z-x)dx+(z-3x)dz=0 \Rightarrow \frac{dz}{dx} = \frac{2z-x}{-z+3x} $
حالا تغییر متغیر جدید $w= \frac{z}{x} $ را اعمال کنید:
$w= \frac{z}{x} \Rightarrow z=xw \Rightarrow dz=wdx+xdw \Rightarrow \frac{dz}{dx} =w+x \frac{dw}{dx} $
$ \Rightarrow w+x \frac{dw}{dx}=\frac{2z-x}{-z+3x}= \frac{2 \frac{z}{x}- \frac{x}{x} }{- \frac{z}{x} +3 \frac{x}{x} }= \frac{2w-1}{-w+3} \Rightarrow x \frac{dw}{dx} = \frac{w^2-w-1}{-w+3} \Rightarrow \frac{(-w+3)dw}{w^2-w-1} = \frac{dx}{x} $
که دیدیم معادله تفکیک شد.حالا با انتگرال از طرفین معادله حل میشه.(به خاطر طولانی بودن جواب به جوینده واگذار میشه).
$ \Box $
