Question

فرض کنید G یک گروه غیر بدیهی و فاقد زیرگروه غیر بدیهی باشد.ثابت کنید G دوری است.

میدانیم اگر G دوری باشد باید توسط یکی از اعضای خود تولید شود از اینکه فاقد زیرگروه غیر بدیهی هست چطور باید استفاده بشه؟ ایده ای برای شروع اثبات ندارم

Comments

@Haniyeh_Imanpour تلاش به فقط دانستن یک تعریف گفته نمی‌شود. به این گفته می‌شود که دست به قلم بشوید. برای نمونه آیا چند تا گروه متفاوت از مرتبه‌های کوچک برداشتید و چک کنید زیرگروه‌هایشان چه هستند و تلاش کنید که سرنخی بدست آورید؟ برای شروع اگر یک عنصر دلخواه از گروه‌تان بردارید، زیرگروه دوری تولیدشده توسط آن چه می‌شود؟

Answer 1

فرض کنید که $G$ گروهی غیر بدیهی باشد لذا دارای عضوی مانند $a$ است که $e \neq a$ و $e$ عضو همانی است.حالا اگر قرار دهیم $H=<a>$ واضح است که $e \neq a \in H$ و لذا ${e} \neq H$ .چون $G$ زیرگروه غیر بدیهی ندارد پس $H=G=<a>$ یعنی $G$ دوری است.

$ \Box $