فرض کنید a,b عضوی از G باشند، مرتبه a,b,ab مساوی و برابر ۲ است. ثابت کنید ab=ba

Question

فرض کنید $a$ و $b$ عضوی از گروه $G$ باشند، مرتبه $ab$ و $a$ و $b$ مساوی و برابر $2$ است. ثابت کنید $ab=ba$ ایده حل: استفاده از مفهوم مرتبه اعضای یک گروه.

Answer 1

$o(ab)=o(a)=o(b)=2 \Rightarrow (ab)^2=a^2=b^2=e \Rightarrow (ab)^2=e,a=a^{-1},b=b^{-1}$

$aba^{-1}b^{-1}=abab=(ab)(ab)=(ab)^2=e$

حالا تساوی اخیر را در سمت راست اول در $b$ و سپس در $a$ ضرب کنید:

$ \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}b=eb \Rightarrow aba^{-1}e=b \Rightarrow aba^{-1}=b \Rightarrow aba^{-1}a=ba \Rightarrow abe=ba$

$ \Rightarrow ab=ba$

$ \Box$

Comments

در ابتدای نتیجه گیری دوم یه اشتباه نوشتاری وجود داره البته بهتر است حذف شه؟

---

سلام.
بله انجام شد.با تشکر.