ثابت کنید که مرتبه یک دور (جایگشتِ دور) برابر با درازا (طول) آن است.

Question

ثابت کنید مرتبهٔ هر دور به طول $k$ برابر $k$ است.

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری ننوشته‌است و همچنین به تلاش خود اشاره‌ای نکرده‌است.

Answer 1

بدونِ کاستن از کلیت (حداکثر با یک بازنامگذاری) می‌توانید دور مورد نظرتان را به شکلِ $(1\;2\;\cdots\;n)$ نمایش دهید. این نمایش در واقع کوتاه‌شدهٔ نمایشِ زیر بود. $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1\end{pmatrix}$$ اکنون حاصلضرب این جایگشت در خودش برابر می‌شود با $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ اگر تعریفِ ضرب دو جایگشت را بلد نیستید، آنگاه باید ابتدا برگردید و تعریف گروهِ جایگشت‌ها را دوباره بیاموزید. با استقرای ریاضی روی تعداد دفعه‌هایی که دورمان در خودش ضرب می‌شود می‌توانید ثابت کنید که حاصلضرب این دور $i$ بار در خودش برابر می‌شود با جایگشتِ زیر. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ \overline{1+i} & \overline{2+i} & \overline{3+i} & \cdots & \overline{n-1+i} & \overline{n+i} \end{pmatrix}$$ که منظور از $\overline{x}$ برای یک عددِ درست (صحیح) -ِ $x$، باقیماندهٔ تقسیمِ آن بر $n$ است که اگر صفر شود آن را با $n$ جابجا می‌کنیم در واقع همان $x\mod n$ ($x$ به پیمانهٔ $n$) است که نمایندهٔ ردهٔ $\bar{0}$ را $n$ گرفته‌ایم. اکنون به یاد آورید که مرتبهٔ یک جایگشت، کوچکترین عدد طبیعی‌ای بود که اگر جایگشت‌تان آنقدر در خودش ضرب شود به جایگشت همانی تبدیل شود یعنی جایگشت زیر. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \end{pmatrix}$$ چون $\overline{1+i}$ برای هیچ عدد طبیعیِ کوچکتر از $n$ برابر با ۱ نمی‌شود پس مرتبهٔ دورمان از $n$ نمی‌تواند کوچکتر باشد. و چون برای هر عدد دلخواه $x$ای داریم $\overline{x+n}=\overline{x}$ پس حاصلضربِ $n$ بارِ دورمان برابر با جایگشت همانی می‌شود. در نتیجه ثابت کردیم که مرتبهٔ دورمان برابر با $n$ است که $n$ درازا (طول) دورمان نیز است.