طبق تعریف داریم $1 \in S $ و $ 1 \in T $ لذا $1=1.1 \in ST $
فرض کنید $ s_{1} t_{1} $ و $s_{2} t_{2} $ دو عضو دلخواه در $ ST $ باشند داریم:
$s_{1} t_{1}s_{2} t_{2}=s_{1} s_{2} t_{1} t_{2} \in ST$
لذا $ ST $ یک مجموعه بسته ضربی است.
ایده آل $(0) $ ایده آل اول نیست چون در غیر اینصورت مشمول در $p \bigcap q $ خواهد بود که طبق فرض چنین نیست . پس $ R $ دارای مقسوم علیه صفر است فرض کنید $ a $ و $ b $ دو عنصر غیر صفر از $ R $ باشند که $ ab=0 $
از قضیه زیر استفاده می کنیم:
فرض کنید $R $ حلقه و $ I$ ایده آل راستی از $ R $.اگر $ M $ یک $ R $ مدول باشد آنگاه $$ \frac{R}{I} \otimes M \cong \frac{M}{IM} $$
حال کافیست قرار دهیم $M=Ra $ و $I=Rb $ آنگاه با جایگذاری داریم :
$$ \frac{R}{Rb} \otimes Ra \cong \frac{Ra}{RbRa} $$
اما $RbRa=Rba=0 $ لذا $\frac{Ra}{RbRa} \cong Ra$
