می دانیم که:
دو مثلث متشابه اند (همنهشت) اگر و تنها اگر زاویه های متناظر برابر و اضلاع متناظر متناسب (برابر) باشند.و مثلث $ABC$ متساوی الاضلاع است اگر و تنها اگر $ABC$ با $BCA$ همنهشت باشد.از طرفی دیگر اگر $z_2,z_1$ اعدادی مختلط باشد بطوریکه $|z_1|=|z_2|$ و $Argz_1=Argz_2$ آنگاه $z_1=z_2$.
در اینجا اگر $z_1$ و $z_2$ و $z_3$ سه نقطه در صفحه مختلط به ترتیب با نامگذاری هندسی $M_1$ و $M_2$ و $M_3$ باشند قبل از هر چیز به سادگی می توان نشان داد که:
$ \angle M_2M_1M_3=Arg \frac{z_1-z_3}{z_1-z_2} $
منظور از $Arg$ زاویه اصلی در نمایش قطبی است.
پس: $M_1M_2M_3$ متساوی الاضلاع است اگر و تنها اگر $M_1M_2M_3$ و $M_2M_3M_1$ متشابه اند اگر و تنها اگر:
$ \frac{z_2-z_3}{z_2-z_1} = \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \Leftrightarrow -(z_3-z_2)^2=(z_1-z_2)(z_1-z_3) $
$\Leftrightarrow -z_2^2-z_3^2+2z_2z_3=z_1^2-z_1z_3-z_1z_2+z_2z_3 \Leftrightarrow z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$
$ \Box $
