می دانی که اگر $F$ لاپلاس $f$ باشد آنگاه:
$L[ \int _0^tf(t)dt]= \frac{F}{I} ,L[(-1)^nx^n]=F^{(n)},$
$L[e^{ax}f(t)]=Fo(I-a) \vee (L [e^{at}f(t)] (p)=F(p-a))$
که در آن $I$ تابع همانی و $F^{(n)}$ مشتق $n$ام $F$ است.بنابراین:
$L[te^t \int _0^te^{-t} \frac{1-Cost}{t} dt]=L[te^t \int _0^te^{-t} \frac{1-Cost}{t} dt]=-L[(-1)^1t^1 \int _0^te^{-t} \frac{1-Cost}{t} dt]o(I-1)$
$=-L'[ \int _0^te^{-t} \frac{1-Cost}{t} dt]o(I-1)=-( \frac{L[e^{-t} \frac{1-Cost}{t} ]}{I} )'o(I-1)$
$- (\frac{L[ \frac{1-Cost}{t} ]o(I+1)}{I} )'o(I-1)$
از طرفی دیگر:
$L[1-Cost]=-L[ (-1)^1t^1\frac{1-Cost}{t} ]=-(L[ \frac{1-Cost}{t} ])'$
$ \Rightarrow (L [ \frac{1-Cost}{t} ] )'(p)=-L [1] (p)+L [Cost] (p)=-\frac{1}{p}+\frac{p}{p^2+1} ($چرا؟$)$
$ L [ \frac{1-Cost}{t} ] (p)=-Lnp+ \frac{1}{2} Ln(p^2+1)=Ln \frac{ \sqrt{p^2+1} }{p} $
جایگذاری و ساده کردن با خواننده.
$ \Box $
