Question

دایره K به مرکز S و شعاع 1 ویک مربع Q به مرکز M و قطر 4 داده شده است .فرض کنید XY وتر یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین باشد.مکان هندسی نقاط Z وقتی X در طول K وY در مرکز Q تغییر می‌کند، توصیف نمایید. المپیاد ریاضی چکسلواکی

Comments

مربع به شعاع 2 یعنی چی؟

---

نصف قطر مربع

---

بنویس نصف قطر. شعاع برای دایره است.

---

ببخشید باز هم سوالتون گنگ است.

---

صورت انگلیسی سوال:
We are given a circle K and center S and radius 1 and a square Q with center M and side 2.let XY be hypotenous of an isosceles right triangle XYZ
Describe the points of Z as X varies along K and .Y varies along the boundary of Q

Answer 1

اگر در دستگاه دکارتی مربع را به مرکز $(0,0)$ و و دایره را به مرکز $(a,b)$ رسم کنیم میتوان معادلۀ مریع و دایره را چنین توصیف کرد:

$K=${$(x,y)|x^2+y^2=1$}

$Q=${$(a-1,y)|a-1 \leq y \leq a+1$} $\cup ${$(a+1,y)|b-1 \leq y \leq b+1$}

$ \cup ${$(x,b-1)|a-1 \leq x \leq a+1$}$ \cup ${$(x,b+1)|a-1 \leq x \leq a+1$}

حال فرض کنید که:

$X(Cos \theta ,Sin \theta ),Y(a+1,b+Sin \alpha )$(چرا؟)

فرض می کنیم وتر این مثلث مقدار $s$ و $Z(x,y)$ رأس قائمه باشد.بنابر این:

$(a+1-Cos \theta )^2+(b+Sin \alpha -Sin \theta )^2=s^2$

از طرفی دیگر $ZX \bot ZY$ بنابر این:

$ \frac{y-CSin \theta }{x-C0s \theta } = -\frac{x-(a+1)}{y-(b+Sin \alpha )} $

$\Rightarrow (x- \frac{a+1+Cos \theta }{2} )^2+(y- \frac{b+Sin \alpha +Sin \theta }{2} )^2=( \frac{s}{2} )^2$(چرا؟)

این یعنی $Z$ روی دایره ای به مرکز $( \frac{a+1+Cos \theta}{2} , \frac{b+Sin \alpha +Sin \theta }{2} )$ و شعاع $ \frac{s}{2} $ قرار دارد.

$ \Box $

من اثبات را در حالت خاصی که $Y$ روی ضلع سمت راست مربع است حل کردم.اثبات سه حالت دیگر مشابه است.