به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
162 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (558 امتیاز)
ویرایش شده توسط mansour

دایره K به مرکز S و شعاع 1 ویک مربع Q به مرکز M و قطر 4 داده شده است .فرض کنید XY وتر یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین باشد.مکان هندسی نقاط Z وقتی X در طول K وY در مرکز Q تغییر می‌کند، توصیف نمایید. المپیاد ریاضی چکسلواکی

توسط قاسم شبرنگ (3,185 امتیاز)
مربع به شعاع 2 یعنی چی؟
توسط mansour (558 امتیاز)
نصف قطر مربع
توسط قاسم شبرنگ (3,185 امتیاز)
بنویس نصف قطر. شعاع برای دایره است.
توسط قاسم شبرنگ (3,185 امتیاز)
ببخشید باز هم سوالتون گنگ است.
توسط mansour (558 امتیاز)
صورت انگلیسی سوال:
We are given a circle K and center S and radius 1 and a square Q with center M and side 2.let XY be hypotenous of an isosceles right triangle XYZ
Describe the points of Z as X varies along K and .Y varies along the boundary of Q

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,185 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
 
بهترین پاسخ

اگر در دستگاه دکارتی مربع را به مرکز $(0,0)$ و و دایره را به مرکز $(a,b)$ رسم کنیم میتوان معادلۀ مریع و دایره را چنین توصیف کرد:

$K=${$(x,y)|x^2+y^2=1$}

$Q=${$(a-1,y)|a-1 \leq y \leq a+1$} $\cup ${$(a+1,y)|b-1 \leq y \leq b+1$}

$ \cup ${$(x,b-1)|a-1 \leq x \leq a+1$}$ \cup ${$(x,b+1)|a-1 \leq x \leq a+1$}

حال فرض کنید که:

$X(Cos \theta ,Sin \theta ),Y(a+1,b+Sin \alpha )$(چرا؟)

فرض می کنیم وتر این مثلث مقدار $s$ و $Z(x,y)$ رأس قائمه باشد.بنابر این:

$(a+1-Cos \theta )^2+(b+Sin \alpha -Sin \theta )^2=s^2$

از طرفی دیگر $ZX \bot ZY$ بنابر این:

$ \frac{y-CSin \theta }{x-C0s \theta } = -\frac{x-(a+1)}{y-(b+Sin \alpha )} $

$\Rightarrow (x- \frac{a+1+Cos \theta }{2} )^2+(y- \frac{b+Sin \alpha +Sin \theta }{2} )^2=( \frac{s}{2} )^2$(چرا؟)

این یعنی $Z$ روی دایره ای به مرکز $( \frac{a+1+Cos \theta}{2} , \frac{b+Sin \alpha +Sin \theta }{2} )$ و شعاع $ \frac{s}{2} $ قرار دارد.

$ \Box $

من اثبات را در حالت خاصی که $Y$ روی ضلع سمت راست مربع است حل کردم.اثبات سه حالت دیگر مشابه است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...