محاسبه مشتق جزئی مرتبه اول

Question

باسلام

وقت بخیر

فرض کنید $f(x,y,z)= x^{ y^{z} }$ محاسبه مشتق جزئی مرتبه اول نسبت به $x , y$ را بیابید.

و محاسبه مشتق جزئی مرتبه اول نسبت به $x , y$ در تابع

$g(x,y)= (Lnx)^{y}$

Answer 1

$f(x,y)=x^{y^z}=e^{(Lnx)y^z=}e^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}$

$f_x=[(Lnx)e^{(Lny)z}]_xe^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}= \frac{1}{x} e^{(Lny)z}e^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}= \frac{1}{x} y^zx^{y^z}$

$f_y=[(Lnx)e^{(Lny)z}]_ye^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}=(Lnx)\frac{1}{y}ze^{(Lny)z}e^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}= \frac{z}{y}y^zx^{y^z}= \frac{xz}{y} f_x$

$f_z=[(Lnx)e^{(Lny)z}]_ze^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}=(Lnx)(Lny)e^{(Lnx)z}e^{[(Lnx)e^{(Lny)z}]}=(Lnx)(Lny)x^zx^{y^z}$

$g(x,y)=(Lnx)^y=e^{(Ln(Lnx))y}$

$f_x=(Ln(Lnx))'ye^{(Ln(Lnx))y}= \frac{(Lnx)'}{Lnx} ye^{(Ln(Lnx))y}= \frac{y}{xLnx}(Lnx)^y= \frac{y}{x} (Lnx)^{y-1}$

$g_y=(Ln(Lnx))e^{(Ln(Lnx))y}=(Ln(Lnx))(Lnx)^y=(Ln(Lnx))(Lnx)^y$

$ \Box $