آیا قضیه مشتقات آمیخته برای مشتقات جزئی با مراتب بالاتر از ۲ نیز برقرار است؟

Question

با سلام. با توجه به قضیهٔ مشتقات آمیخته که می‌گوید اگر $f$ و $ f_{x} $ و $ f_{y} $و $ f_{xy} $ و $ f_{yx} $ در یک قرص باز شامل $(a,b)$ تعریف شده باشند و همگی در این نقطه پیوسته باشند می‌توان گفت که: $ f_{xy}(a,b) $ با $ f_{yx}(a,b) $ باهم برابرند، آیا می‌توان این را به این صورت تعمیم داد: (با شرط وجود و پیوستگی مشتقات جزئی مراتب بالاتر) که عبارت $ \frac{\partial^m}{\partial y^m}\frac{\partial^nf}{\partial x^n} $ با عبارت $ \frac{\partial^n}{\partial x^n}\frac{\partial^mf}{\partial y^m} $ با هم برابرند؟ با تشکر.

Answer 1

مجموعهٔ تابع‌هایی که قانون اشاره‌شده‌تان یعنی $$\frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{\partial}{\partial y}(f)\big)= \frac{\partial}{\partial y}\big(\frac{\partial}{\partial x}(f)\big)$$ برای خودشان و تمام مشتق‌های از مرتبهٔ دلخواهشان صدق می‌کند را با $A$ نمایش دهید. اکنون تابع (در واقع عملگر) زیر را تعریف کنید $$\left\lbrace\begin{array}{llll} D_x\colon & A & \rightarrow & A\\ & f & \mapsto & \frac{\partial}{\partial x}(f) \end{array}\right.$$ به همین روش تابع (عملگر) دیگری به شکل زیر تعریف می‌کنیم $$\left\lbrace\begin{array}{llll} D_y\colon & A & \rightarrow & A\\ & f & \mapsto & \frac{\partial}{\partial y}(f) \end{array}\right.$$ اکنون توجه کنید که قانون‌تان را برای اعضای $A$ می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد $$D_x\big(D_y(f)\big)=D_y\big(D_x(f)\big)$$ به یاد چیز آشنایی نیافتادید؟ $$D_x\circ D_y(f)=D_y\circ D_x(f)$$ به یاد آورید که برای ترکیب تابع‌ها داشتیم که اگر $f\circ g=g\circ f$ آنگاه برای هر $m,n\in\mathbb{N}$ رابطهٔ $f^{\star n}\circ g^{\star m}=g^{\star m}\circ f^{\star n}$ که در آن منظور از $f^{\star n}$ ترکیب $f$ برای $n$ بار است. یعنی $$\underset{\text{n-times}}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots\circ f}}$$ اکنون با به کار بردن این رابطه برای تابع‌ها (عملگرهای) $D_x$ و $D_y$ روی عنصرهای $A$ داریم $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial x^{n}}\big(\frac{\partial}{\partial y^{m}}(f)\big) &= D_x^{\star n}\circ D_y^{\star m}(f)\\ &= D_y^{\star m}\circ D_x^{\star n}(f)\\ &= \frac{\partial}{\partial y^{m}}\big(\frac{\partial}{\partial x^{n}}(f)\big) \end{align}$$