$A:= \int_0^ \infty \frac{ln(x)}{(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)} dx$
با تغییر متغیر $u= \frac{1}{x} $ داریم:
$x= \frac{1}{u} \Rightarrow dx= \frac{-1}{u^2} du$
$ \Rightarrow A= \int_0^ \infty \frac{-u^8ln(u)}{(1+u)(1+u^2)(1+u^3)(1+u^4)} du$
$= \int_0^ \infty \frac{(1-u^8)ln(u)}{(1+u)(1+u^2)(1+u^3)(1+u^4)} du- \int_0^ \infty \frac{ln(u)}{(1+u)(1+u^2)(1+u^3)(1+u^4)} du$
$= \int _0^ \infty \frac{ln(u)}{u^2-u+1} -A$
$ \Rightarrow 2A= \int _0^ \infty \frac{ln(u)}{u^2-u+1}$
حالا تغییر متغیر $v= \frac{1}{u} $ را بکار ببرید:
$ \Rightarrow u= \frac{1}{v} \Rightarrow dv= \frac{-1}{u^2} du$
$ \Rightarrow 2A= \int _0^ \infty \frac{ln(u)}{u^2-u+1}=- \int _0^ \infty \frac{ln(v)}{v^2-v+1}=-2A$
$ \Rightarrow 4A=0 \Rightarrow A=0$
$ \Box $
