Question

نشان دهید:

$$I(a)= \int_ {-a} ^aArccos( \frac{x}{a} )ln(x+a)dx= \pi aln( \frac{a}{2}) \leadsto u=x+a$$

Answer 1

ایده ای برای حل:

فرض کنید $a>0$ و با تغییر متغیر $u= \frac{x}{a}$ داریم:

$x=au \Rightarrow dx=adu$

$I(a)= a\int _{-1}^1cos^{-1}(u).ln(a(u+1))du$

$=aln(a)\int _{-1}^1cos^{-1}(u)+a\int _{-1}^1cos^{-1}(u).ln(u+1)ddu$

در انتگرال اول از جزء به جزء استفاده کنید و در انتگرال دوم سری مکلورن $ln(1+u)$ را بکار ببرید و باز هم از جزء به جزء و جابجایی سیگما و انتگرال استفاده کنید.

$\Box$

Comments

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=1986646271068920405

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=18376280144962637046

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=12228400117917865257

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=15808579883139516768

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=7305019553149692217