ایده ای برای حل:
فرض کنید $a>0$ و با تغییر متغیر $u= \frac{x}{a} $ داریم:
$x=au \Rightarrow dx=adu$
$I(a)= a\int _{-1}^1cos^{-1}(u).ln(a(u+1))du$
$=aln(a)\int _{-1}^1cos^{-1}(u)+a\int _{-1}^1cos^{-1}(u).ln(u+1)ddu$
در انتگرال اول از جزء به جزء استفاده کنید و در انتگرال دوم سری مکلورن $ln(1+u)$ را بکار ببرید و باز هم از جزء به جزء و جابجایی سیگما و انتگرال استفاده کنید.
$ \Box $
