Question

,نشان دهید:

$$ \int _0^¹ \frac{ x^{12}-1 }{1+x+ x^{2} } \frac{dx}{lnx} =ln( \frac{22}{7} ) $$ $$ \leadsto I(a)= \int _0^1 \frac{1- x^{a} }{1+x^{2} } \frac{dx}{lnx} $$

Comments

صورت سوال اشتباه است و زیر dx ،dx قرار می‌دهیم.

Answer 1

اگر انتگرال را به صورت ناسره مد نظر داشته باشیم چون ($0<x<1 \Rightarrow x-1 \neq 0$) داریم:

$ \frac{x^{12}-1}{1+x+x^2}= \frac{(x^6-1)(x^6+1)}{1+x+x^2}= \frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{1+x+x^2}= \frac{(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)(x^6+1)}{1+x+x^2}$

$=(x-1)(x^3+1)(x^6+1)=(x-1)(x^9+x^3+x^6+1)$

$=x^{10}+x^4+x^7+x-x^9-x^3-x^6-1$

$=(x^{10}-1)-(x^9-1)+(x^7-1)-(x^6-1)+(x^4-1)-(x^3-1)+(x-1)$

حالا برای مقدیر $a>-1$ قرار دهید:

$I(a):= \int _0^1 \frac{x^a-1}{Lnx} dx \Rightarrow I'(a)= \int _0^1 \frac{(Lnx)x^a}{Lnx} dx= \int _0^1x^adx= \frac{1}{a+1} [x^{a+1}]_0^1= \frac{1}{a+1} $

$ \Rightarrow I(a)=Ln(a+1)+C$

از طرفی دیگر:

$I(0)= \int _0^10dx=0 \Rightarrow Ln(0+1)+C=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow I(a)=Ln(a+1)$

$ \Rightarrow \int _0^1 \frac{x^{12}-1}{(1+x+x^2)Lnx} dx= \int _0^1 \frac{x^{10}-1}{Lnx}dx -\int _0^1 \frac{x^9-1}{Lnx}dx+\int _0^1 \frac{x^7-1}{Lnx}dx$

$-\int _0^1 \frac{x^6-1}{Lnx}dx+\int _0^1 \frac{x^4-1}{Lnx}dx-\int _0^1 \frac{x^3-1}{Lnx}dx+\int _0^1 \frac{x-1}{Lnx}dx$

$=Ln11-Ln10+Ln8-Ln7+Ln5-Ln4+ln2$

$=Ln11-Ln2-Ln5+3Ln2-Ln7+Ln5-2Ln2+Ln2=Ln11+Ln2-Ln7$

$=Ln \frac{11 \times 2}{7}=Ln \frac{22}{7} $

$ \Box $

Answer 2

$$ I(a)=\leadsto \int _0^1 \frac{1- x^{a} }{1+x+ x^{2} } \frac{dx}{dx} \Longrightarrow I'(a)=- \int _0^1 \frac{ x^{a} }{1+x+ x^{2} } dx=- \int _0^1 \frac{ x^{a}.(1-x) }{1- x^{3} } dx=- \int _0^1 \frac{ x^{a} - x^{a+1} }{1- x^{3} } \leadsto u= x^{3} \Longrightarrow I'(a)= -\int _0^1 \frac{ u^{ \frac{a}{3} } - u^{ \frac{a+1}{3} } }{1-u} . \frac{du}{3 u^{ \frac{2}{3} } } \leadsto \psi (z)+ \gamma = \int _0^1 \frac{1- t^{z-1} }{1-t} dt $$

Comments

انتگرال گیری همچنان ادامه دارد.

Answer 3

ادامه: $$-3I'(a)= \int _0^1 \frac{1}{u-1} - \frac{ u^{ \frac{a+1}{2} } }{1-u} du=- \int _0^1 \frac{1}{1-u} - \frac{ u^{ \frac{a+1}{2} -1} }{1-u}du+ \int _0^1 \frac{1}{1-u}- \frac{ u^{ \frac{a+2}{3}-1 } }{1-u} =-[ \psi ( \frac{a+1}{3} )+ \gamma ] +[ \psi ( \frac{a+2}{3} )+ \gamma ]$$

Comments

ادامه دارد.در اولین انتگرال توان u یک واحد باید کم شود.

Answer 4

ادامه ۲: $$-3I'(a)= \frac{ \Gamma '(\frac{a+2}{3}) }{ \Gamma (\frac{a+2}{3}) } - \frac{ \Gamma'( \frac{a+1}{3} ) }{ \Gamma ( \frac{a+1}{3} )} $$

Comments

ادامه دارد.

Answer 5

ادامه ۳: $$I'(a)= \frac{-1}{3} \frac{ \Gamma ' (\frac{a+2}{3}) }{ \Gamma ( \frac{a+2}{3}) } + \frac{1}{3} \frac{ \Gamma '( \frac{a+1}{3} )}{ \Gamma ( \frac{a+1}{3}) } \Longrightarrow I(a)=ln | \frac{ \Gamma ( \frac{a+1}{3} )}{ \Gamma ( \frac{a+2}{3} )} | +C $$

Comments

ادامه دارد.

Answer 6

ادامه ۴: $$I(0)=0 \Longrightarrow C=0 \Longrightarrow C=-ln | \frac{ \Gamma ( \frac{1}{3} )}{ \Gamma ( \frac{2}{3} )} | \Longrightarrow I(a)=ln | \frac{ \Gamma ( \frac{a+1}{3} )}{ \Gamma ( \frac{a+2}{3} )} \frac{ \Gamma ( \frac{2}{3} )}{ \Gamma ( \frac{1}{3} )} | \Longrightarrow a=12 \hookrightarrow I(a)=ln( \frac{22}{7}) $$