به عنوان یک مثال نقض: $$5+\sqrt 4=4+\sqrt 9$$ .
به ازای هر $x,x',y,y'\in\mathbb Q$ در صورتی که $y$ یا $y'$ مربع کامل نباشد آنگاه $$x+\sqrt y=x'+\sqrt{y'}\iff x=x',y=y' $$ .
ویرایش بعد از دیدگاه:
اگر هر دوی $y,y'$ مربع کامل باشند در بالا مثال نقض آوردیم.
چون $x-x'=\sqrt{y'}-\sqrt{y}$ بنابراین $ \sqrt{y'}-\sqrt{y}\in\mathbb Q$ یک عدد گویا است.
لذا $ \sqrt{y'}-\sqrt{y}=\frac{y'-y}{\sqrt{y'}+\sqrt{y}}$ یک عدد گویا است. و این هم فقط وقتی امکان دارد که $y'=y$ یا $\sqrt{y'}+\sqrt{y}$ یک عدد گویا باشد. اما اگر $\sqrt{y'}+\sqrt{y} $ یک عدد گویا باشد چون $ \sqrt{y'}-\sqrt{y} $ هم گویا بود پس جمع آنها $2\sqrt{y'}$ گویا می شود یعنی $\sqrt{y'}$ گویا است و چون $\sqrt{y'}-\sqrt{y}$ گویا است باید $\sqrt{y}$ هم گویا شود. یعنی $y,y'$ مربع کامل می شوند.
پس ثابت کردیم $\sqrt{y'}-\sqrt{y}$ گویا است اگر و تنها اگر $y'=y$ یا $y'$ و $y$ هر دو مربع کامل باشند.
پس به عبارت دیگر اگر
$\sqrt{y'}-\sqrt{y}=x-x'$ و $y'$ یا $y$ مربع کامل نباشند(حداقل یکی از آنها مربع کامل نباشد) داریم:
$\sqrt{y'} -\sqrt{y}=x-x'$اگر و تنها اگر $y'=y$
اما توجه کنید اگر $y'=y$ انگاه $x=x'$ .
پس حکم ثابت شد.
