به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
31 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)

نشان دهید: $$ \int _0^ \infty lnxln(1+ \frac{1}{ x^{2} } )dx=- \pi \leadsto I(a)= \int _0^ \infty lnxln(1+ \frac{a}{ x^{2} } )dx$$

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
 
بهترین پاسخ

تابع $I$ را روی بازۀ $[0,+ \infty )$ به صورت زیر تعریف کنید:

$I(a):= \int _0^ \infty Lnx.Ln(1+ \frac{a}{x^2} )dx \Rightarrow I'(a)= \int_0^ \infty Lnx. \frac{ \frac{1}{x^2} }{1+ \frac{a}{x^2} }dx= \int _0^ \infty Lnx. \frac{1}{a+x^2} dx$

حالا با تغییر متغیر پیش میریم.قرار دهید:

$u:=tan^{-1}( \frac{x}{ \sqrt{a} } ) \Rightarrow \frac{x}{ \sqrt{a} } =tanu \Rightarrow x= \sqrt{a} tanu \Rightarrow dx= \sqrt{a} (1+tan^2u)du$

$= \sqrt{a} (1+ \frac{x^2}{a} )du= \frac{ \sqrt{a} }{a}(a+x^2)du= \frac{1}{ \sqrt{a} }(a+x^2)du$

$I'(a)= \int _0^ \frac{ \pi }{2} Ln( \sqrt{a} tanu). \frac{1}{ \sqrt{a} } du=\frac{1}{ \sqrt{a} }\int _0^ \frac{ \pi }{2}Ln \sqrt{a}du +\frac{1}{ \sqrt{a} }\int _0^ \frac{ \pi }{2}Ln(tanu)du$

انتگرال دوم صفر است زیرا:

اگر تابع زیر انتگرال را با $g$ نشان دهیم برای بازه $[0, \frac{ \pi }{4} ]$ تابع غیر مثبت و برای بازۀ $[ \frac{ \pi }{4} , \frac{ \pi }{2} ]$ تابع غیر منفی است.و اگر $0< x< \frac{ \pi }{4} $ آنگاه $g( \frac{ \pi }{2} -x)=g(x)$.(به نوعی تابع فرد است.)

$I'(a)=\frac{1}{ \sqrt{a} }\int _0^ \frac{ \pi }{2}Ln \sqrt{a}du=\frac{Ln \sqrt{a}}{ \sqrt{a} }\int _0^ \frac{ \pi }{2}du=\frac{Ln \sqrt{a}}{ \sqrt{a} }[u]_0^{ \frac{ \pi }{2} }= \frac{ \pi }{2} \frac{Ln \sqrt{a}}{ \sqrt{a} }$

$I(a)= \frac{ \pi }{2} \int \frac{Ln \sqrt{a}}{ \sqrt{a} }da= \pi \int Lntdt(t= \sqrt{a} )$

$I(a)= \pi (tLnt-t)+C= \pi (\sqrt{a} Ln\sqrt{a} -\sqrt{a} )+C$

از طرفی دیگر با توجه به پیوستگی تابع زیر انتگرال:

$ I(0) = 0 = \lim_{a\to 0} (\pi (\sqrt{a} Ln\sqrt{a} -\sqrt{a} ))+C = 0+C=C \Rightarrow C=0 $

$ \Rightarrow I(a)=\pi (\sqrt{a} Ln\sqrt{a} -\sqrt{a} ) \Rightarrow \int _0^ \infty Lnx.Ln(1+ \frac{1}{x^2} )dx=I(1)=- \pi $

$ \Box $

من به خاطر طولانی شدن جزئیات را نیاوردم.

قبل از هر چیز باید همگرایی انتگرال را برا بازه $(0,e)$ و $(e,+ \infty )$ بررسی کرد بعد اعمال بالا را انجام داد.

0 امتیاز
توسط mansour (382 امتیاز)

$$I'(a)= \int _0^ \infty \frac{lnx}{ x^{2} +a} dx \leadsto x^{2} =a (tanx)^{2} \Longrightarrow I'(a)= \int _0^ \frac{ \pi }{2} \frac{ln \sqrt{a} +lntan \theta }{ \sqrt{a} } d \theta \Longrightarrow I(a)= \frac{ \pi }{4} \int \frac{lna}{ \sqrt{a} } da = \frac{ \pi }{4} [2 \sqrt{a}lna-2 \int \frac{ \sqrt{a} }{a}da ]= \frac{ \pi }{2} \sqrt{a} lna- \pi \sqrt{a} +C,I(0)=0,C=0 \Longrightarrow I(a)= \frac{ \pi }{2} \sqrt{a} lna- \pi \sqrt{a} \Longrightarrow I(1)=- \pi $$

توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
جواب را هم ناقص نوشتی هم نامرتب.
ببخشید که دارم میگم (نباید با ریاضیات همانند دیگر علوم برخورد شود.)
پاول اردوش در آخر عمر مشغول نوشتن کتابی بود به نام (کتاب اثبات ) که ناتمام ماند.این کتاب قرار بود دایره المعارفی از زیباترین اثباتهای گزاره های ریاضی باشد.
به قول یکی از ریاضیدانان ذز ریاضیات هیچ چیز بدیهی وجود ندارد.
من میگم از ارکانهای مهم یک استدلال هنری نوشتن استدلال است.
با اجازه من استدلال را کامل می کنم.
توسط mansour (382 امتیاز)
خیلی ممنون استاد محترم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...